Под какими значениями переменной x выражение √(x - 5)(x + 5) имеет смысл? Варианты ответа: −5 ≤ x ≤ 5 −5 < x <

Morskoy_Plyazh

18

Чтобы определить значения переменной x, при которых выражение \(\sqrt{{(x - 5)(x + 5)}}\) имеет смысл, необходимо обратить внимание на подкоренное выражение \((x - 5)(x + 5)\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным или равным нулю, чтобы квадратный корень был определен.

Разложим выражение \((x - 5)(x + 5)\):

\((x - 5)(x + 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\sqrt{x^2 - 25}\) имеет смысл, когда \(x^2 - 25 \geq 0\). Решая данное неравенство, получаем:
\[x^2 - 25 \geq 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 5) \geq 0\]
Как известно, произведение двух чисел будет неотрицательным, если эти числа имеют одинаковый знак или же одно из них равно нулю. В нашем случае это означает, что:
* \(x - 5 \geq 0\) и \(x + 5 \geq 0\) (оба множителя положительные), то есть \(x \geq 5\);
* \(x - 5 \leq 0\) и \(x + 5 \leq 0\) (оба множителя отрицательные), то есть \(x \leq -5\).

Таким образом, мы получаем ответ \(x \leq -5\) или \(x \geq 5\).

2. Отметим, что \(\sqrt{x^2 - 25}\) имеет смысл также и при \(x^2 - 25 = 0\), то есть когда \(x^2 = 25\). В этом случае \(x\) может быть равен как положительному числу 5, так и отрицательному числу -5.

Итак, с учетом обоих случаев, значения переменной \(x\), при которых выражение \(\sqrt{(x - 5)(x + 5)}\) имеет смысл, являются:
\[x \leq -5, \quad x \geq 5, \quad x = -5, \quad x = 5\]

Добавлю, что данное решение можно представить также как объединение интервалов: \(-\infty < x \leq -5\) и \(5 \leq x < +\infty\), где \(-\infty\) - это отрицательная бесконечность, а \(+\infty\) - положительная бесконечность.