Какими скоростями два бегуна бегут, если они выбегают навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми

Luna_V_Omute

44

Давайте решим эту задачу. Пусть скорость первого бегуна обозначается как \(v_1\) км/ч, а скорость второго бегуна - как \(v_2\) км/ч.

Мы знаем, что сумма их скоростей равна 16,5 км/ч. То есть, у нас есть уравнение:

\[v_1 + v_2 = 16,5\]

Также, мы знаем, что первый бегун стартует на полчаса раньше второго. Это значит, что первый бегун будет бежать в течение \(t + 0,5\) часов, где \(t\) - время, которое бежит второй бегун.

Мы также знаем, что они встретятся через 2,5 часа после старта второго бегуна. Таким образом, время, которое бежит первый бегун, будет \(t + 0,5\) часов, а время, которое бежит второй бегун, будет \(t\) часов. У нас есть еще одно уравнение:

\[(v_1 \cdot (t + 0,5)) + (v_2 \cdot t) = 45\]

Мы решили задачу, если найдем значения \(v_1\) и \(v_2\) такие, что оба уравнения будут выполняться.

Воспользуемся методом замещения для решения данной системы уравнений. Из первого уравнения найдем \(v_1\) через \(v_2\):

\[v_1 = 16,5 - v_2\]

Подставим это значние во второе уравнение:

\[((16,5 - v_2) \cdot (t + 0,5)) + (v_2 \cdot (t)) = 45\]

Упростим это уравнение:

\[16,5t + 8,25 - v_2t - 0,5v_2 + v_2t = 45\]

Сократим подобные члены:

\[16,5t + 8,25 + 0,5v_2 = 45\]

Перенесем все члены, не содержащие \(v_2\), на одну сторону:

\[0,5v_2 = 45 - 16,5t - 8,25\]

\[0,5v_2 = 36,75 - 16,5t\]

Теперь можем найти значение \(v_2\):

\[v_2 = \frac{{36,75 - 16,5t}}{{0,5}}\]

Заметим, что \(v_2\) должно быть положительным числом, так как это скорость бегуна. Также, заметим, что \(t\) не может быть больше 2,5, так как они должны встретиться через 2,5 часа после старта второго бегуна.

Подставим это значение \(v_2\) обратно в первое уравнение:

\[v_1 = 16,5 - \frac{{36,75 - 16,5t}}{{0,5}}\]

Таким образом, мы получили выражения для скоростей обоих бегунов. Чтобы получить ответ в виде произведения скоростей, перемножим \(v_1\) и \(v_2\):

\[\text{Ответ: } v_1 \cdot v_2 = \left(16,5 - \frac{{36,75 - 16,5t}}{{0,5}}\right) \cdot \left(\frac{{36,75 - 16,5t}}{{0,5}}\right)\]

Это и есть окончательный ответ, представленный в виде произведения скоростей.