Какое будет отношение частоты колебаний в первом случае к частоте во втором, если масса m подвешена на двух пружинах

Сквозь_Огонь_И_Воду_2580

11

Давайте начнем с первой задачи о частоте колебаний двух пружин. В первом случае, когда пружины соединены последовательно, мы должны рассмотреть их жесткости вместе. Для этого мы можем воспользоваться формулой для расчета эквивалентной жесткости для пружин, соединенных последовательно:

\[
k_{\text{экв}} = \frac{1}{\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}}
\]

Где \(k_{\text{экв}}\) - эквивалентная жесткость, \(k_1\) - жесткость первой пружины и \(k_2\) - жесткость второй пружины.

Подставляя значения \(k_1 = 800 \, \text{Н/м}\) и \(k_2 = 200 \, \text{Н/м}\) в формулу, получим:

\[
k_{\text{экв}} = \frac{1}{\frac{1}{800} + \frac{1}{200}} = \frac{1}{\frac{1}{800} + \frac{4}{800}} = \frac{1}{\frac{5}{800}} = \frac{800}{5} = 160 \, \text{Н/м}
\]

Таким образом, эквивалентная жесткость для пружин, соединенных последовательно, равна \(160 \, \text{Н/м}\).

Во втором случае, когда пружины соединены параллельно, эквивалентная жесткость рассчитывается по следующей формуле:

\[
k_{\text{экв}} = k_1 + k_2
\]

Подставляя значения жесткостей, получаем:

\[
k_{\text{экв}} = 800 + 200 = 1000 \, \text{Н/м}
\]

Таким образом, эквивалентная жесткость для пружин, соединенных параллельно, равна \(1000 \, \text{Н/м}\).

Мы можем найти отношение частоты колебаний в первом случае (\(f_1\)) к частоте во втором случае (\(f_2\)) с использованием формулы:

\[
\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{k_{\text{экв}_2}}{k_{\text{экв}_1}}}
\]

Где \(k_{\text{экв}_1}\) - эквивалентная жесткость в первом случае, \(k_{\text{экв}_2}\) - эквивалентная жесткость во втором случае.

Подставляя значения эквивалентных жесткостей, получаем:

\[
\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{1000}{160}} \approx \sqrt{6.25} \approx 2.5
\]

Таким образом, отношение частоты колебаний в первом случае к частоте во втором случае составляет примерно 2.5.

Теперь перейдем ко второй задаче о периоде колебаний стержня. Для этого мы можем использовать формулу периода колебаний для математического маятника:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}
\]

Где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа пи, \(I\) - момент инерции стержня, \(m\) - его масса, \(g\) - ускорение свободного падения и \(h\) - расстояние от центра масс стержня до оси вращения.

Момент инерции стержня, вращающегося вокруг одной из концевых осей, можно рассчитать по формуле:

\[
I = \frac{1}{3} m \left(\frac{L}{2}\right)^2
\]

Где \(L\) - длина стержня.

Подставляя значения, получим:

\[
I = \frac{1}{3} \cdot 60 \, \text{кг} \left(\frac{0.6}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot 60 \, \text{кг} \cdot 0.3^2 = \frac{1}{3} \cdot 60 \, \text{кг} \cdot 0.09 = 1.8 \, \text{кг $\cdot$ м}^2
\]

Теперь мы можем рассчитать период:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.8 \, \text{кг $\cdot$ м}^2}{0.06 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.1 \, \text{м}}}
\]

Раскрываем формулу и выполняем вычисления:

\[
T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.8}{0.0588}} \approx 2 \pi \sqrt{30.612} \approx 2 \pi \cdot 5.527 \approx 34.723 \, \text{сек}
\]

Ответ округляем до десятых долей. Таким образом, период колебаний стержня составляет примерно 34.7 секунды.