Какое будет отношение частоты колебаний в первом случае к частоте во втором, если масса m подвешена на двух пружинах

Сквозь_Огонь_И_Воду_2580

11

Давайте начнем с первой задачи о частоте колебаний двух пружин. В первом случае, когда пружины соединены последовательно, мы должны рассмотреть их жесткости вместе. Для этого мы можем воспользоваться формулой для расчета эквивалентной жесткости для пружин, соединенных последовательно:

$$k_{\text{экв}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}$$

Где $k_{\text{экв}}$ - эквивалентная жесткость, $k_1$ - жесткость первой пружины и $k_2$ - жесткость второй пружины.

Подставляя значения $k_1=800\text{Н/м}$ и $k_2=200\text{Н/м}$ в формулу, получим:

$$k_{\text{экв}}=\frac{1}{\frac{1}{800}+\frac{1}{200}}=\frac{1}{\frac{1}{800}+\frac{4}{800}}=\frac{1}{\frac{5}{800}}=\frac{800}{5}=160\text{Н/м}$$

Таким образом, эквивалентная жесткость для пружин, соединенных последовательно, равна $160\text{Н/м}$.

Во втором случае, когда пружины соединены параллельно, эквивалентная жесткость рассчитывается по следующей формуле:

$$k_{\text{экв}}=k_1+k_2$$

Подставляя значения жесткостей, получаем:

$$k_{\text{экв}}=800+200=1000\text{Н/м}$$

Таким образом, эквивалентная жесткость для пружин, соединенных параллельно, равна $1000\text{Н/м}$.

Мы можем найти отношение частоты колебаний в первом случае ($f_1$) к частоте во втором случае ($f_2$) с использованием формулы:

$$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{k_{{\text{экв}}_2}}{k_{{\text{экв}}_1}}}$$

Где $k_{{\text{экв}}_1}$ - эквивалентная жесткость в первом случае, $k_{{\text{экв}}_2}$ - эквивалентная жесткость во втором случае.

Подставляя значения эквивалентных жесткостей, получаем:

$$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{1000}{160}}\approx \sqrt{6.25}\approx 2.5$$

Таким образом, отношение частоты колебаний в первом случае к частоте во втором случае составляет примерно 2.5.

Теперь перейдем ко второй задаче о периоде колебаний стержня. Для этого мы можем использовать формулу периода колебаний для математического маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}$$

Где $T$ - период колебаний, $\pi$ - математическая константа пи, $I$ - момент инерции стержня, $m$ - его масса, $g$ - ускорение свободного падения и $h$ - расстояние от центра масс стержня до оси вращения.

Момент инерции стержня, вращающегося вокруг одной из концевых осей, можно рассчитать по формуле:

$$I=\frac{1}{3}m{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$$

Где $L$ - длина стержня.

Подставляя значения, получим:

$$I=\frac{1}{3}\cdot 60\text{кг}{\left(\frac{0.6}{2}\right)}^2=\frac{1}{3}\cdot 60\text{кг}\cdot {0.3}^2=\frac{1}{3}\cdot 60\text{кг}\cdot 0.09=1.8{\text{кг }\cdot \text{ м}}^2$$

Теперь мы можем рассчитать период:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1.8{\text{кг }\cdot \text{ м}}^2}{0.06\text{кг}\cdot 9.8{\text{м/с}}^2\cdot 0.1\text{м}}}$$

Раскрываем формулу и выполняем вычисления:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1.8}{0.0588}}\approx 2\pi \sqrt{30.612}\approx 2\pi \cdot 5.527\approx 34.723\text{сек}$$

Ответ округляем до десятых долей. Таким образом, период колебаний стержня составляет примерно 34.7 секунды.