Какое будет повышение температуры свинцового шара, после того как он упадет с высоты h = 100 м на твёрдую поверхность

Мурзик

3

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения энергии.

Итак, в начальный момент энергия состоит только из потенциальной энергии, так как шар находится на высоте h. Потенциальная энергия вычисляется по формуле:

\(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\),

где \(m\) - масса шара, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равное 9,8 м/с²), \(h\) - высота падения.

Затем, когда шар падает, его потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию:

\(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\),

где \(v\) - скорость шара в момент удара о поверхность.

Из условия задачи известно, что вся кинетическая энергия превращается в теплоту:

\(E_{\text{кин}} = Q_{\text{теп}}\).

Теперь наша задача заключается в вычислении изменения температуры шара, если две трети теплоты расходуются на его нагревание.

Общая формула для вычисления изменения температуры материала в зависимости от количества переданной теплоты и его теплоемкости:

\(\Delta T = \frac{Q}{m \cdot c}\),

где \(\Delta T\) - изменение температуры, \(Q\) - количество теплоты, \(m\) - масса материала, \(c\) - теплоемкость материала.

Для решения задачи нам необходимо найти количество теплоты, которое передается окружающей среде, поскольку одна треть теплоты передается ей.

Найдем количество теплоты, которое передается окружающей среде:

\(Q_{\text{окр}} = \frac{1}{3} \cdot Q_{\text{теп}}\).

Теперь, зная, что нагревание шара забирает две трети теплоты, можем найти количество теплоты, которое расходуется на нагревание шара:

\(Q_{\text{нагр}} = \frac{2}{3} \cdot Q_{\text{теп}}\).

Мы можем считать, что масса шара равна его объему, так как плотность свинца примерно одинакова в широком диапазоне температур. Радиус шара можно найти через его объем:

\(V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\).

Зная массу и объем шара, можем найти массу материала шара:

\(m = V \cdot \rho\),

где \(\rho\) - плотность свинца.

Итак, мы нашли все необходимые формулы для решения задачи. Теперь осталось подставить известные значения и вычислить изменение температуры шара.

Давайте решим задачу.

Массу шара можно подсчитать зная его объём. Объём шара равен:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3.\]

Допустим, у нас радиус шара равен 0,1 метров. Тогда его объем составит:

\[V = \frac{4}{3} \pi (0,1)^3 \approx 0,00418879 \, \text{м}^3.\]

Теперь найдем массу шара, умножив его объем на плотность материала. Плотность свинца составляет примерно 11,34 \(\text{г/см}^3\) или 11340 \(\text{кг/м}^3\). Таким образом, масса шара равна:

\[m = V \cdot \rho = 0,00418879 \, \text{м}^3 \cdot 11340 \, \text{кг/м}^3 \approx 47,70 \, \text{кг}.\]

Теперь вычислим количество теплоты, которое передается окружающей среде:

\[Q_{\text{окр}} = \frac{1}{3} \cdot Q_{\text{теп}}.\]

Но нам известно, что \(Q_{\text{теп}} = E_{\text{кин}}\) (вся кинетическая энергия превратаится в теплоту). Поэтому:

\[Q_{\text{окр}} = \frac{1}{3} \cdot E_{\text{кин}}.\]

Теперь найдем кинетическую энергию шара. В начальный момент времени кинетическая энергия равна нулю, так как шар покоится. Когда шар упадет с высоты h, его потенциальная энергия превратится в кинетическую энергию:

\[E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}.\]

Потенциальная энергия определяется следующей формулой:

\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h.\]

Здесь m - масса шара, g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²), h - высота падения. Подставим известные значения:

\[E_{\text{пот}} = 47,70 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 100 \, \text{м} = 47 046 \, \text{Дж}.\]

Теперь найдем количество теплоты, которое передается окружающей среде:

\[Q_{\text{окр}} = \frac{1}{3} \cdot E_{\text{кин}} = \frac{1}{3} \cdot 47 046 \, \text{Дж} = 15 682 \, \text{Дж}.\]

Наконец, найдем количество теплоты, которое расходуется на нагревание шара:

\[Q_{\text{нагр}} = \frac{2}{3} \cdot E_{\text{кин}} = \frac{2}{3} \cdot 47 046 \, \text{Дж} = 31 364 \, \text{Дж}.\]

Теперь мы можем вычислить изменение температуры шара, используя формулу:

\[\Delta T = \frac{Q_{\text{нагр}}}{m \cdot c}.\]

По условию дано, что теплоемкость свинца \(c = 0,126 \, \text{кДж / (кг \cdot К)}\). Подставим известные значения:

\[\Delta T = \frac{31 364 \, \text{Дж}}{47,70 \, \text{кг} \cdot 0,126 \, \text{кДж / (кг \cdot К)}} \approx 52,43 \, \text{К}.\]

Таким образом, температура свинцового шара повысится на примерно 52,43 градуса Кельвина (\(^\circ \text{К}\)) после падения с высоты 100 метров, если вся кинетическая энергия превратится в теплоту, и две трети этой теплоты будут использованы на нагревание шара.