Какое число имеет наименьшее значение, когда его квадратный корень превышает это число?

Тимофей

63

Чтобы решить эту задачу, давайте предположим, что искомое число равно \(x\). Мы знаем, что квадратный корень числа \(x\) больше, чем само число \(x\). То есть, \(\sqrt{x} > x\).

Для подробного решения, приведем это неравенство к квадрату и решим получившееся уравнение. Возводим обе части неравенства в квадрат:

\((\sqrt{x})^2 > x^2\)

Упрощаем:

\(x > x^2\)

Теперь приведем данное уравнение к каноническому виду. Для этого выведем все члены уравнения в одну сторону:

\(x^2 - x < 0\)

Теперь проанализируем знак данного выражения. Заметим, что уравнение является параболой ветвями вниз. Чтобы найти значения \(x\), при которых неравенство выполняется, посмотрим, когда оно меняет знак.

Применяем следующие упрощения:

\(x(x-1) < 0\)

Теперь рассмотрим каждый из множителей:

1. Если \(x > 0\), то \((x-1)\) должно быть отрицательным, чтобы неравенство выполнялось.
2. Если \(x < 0\), то \((x-1)\) должно быть положительным, чтобы неравенство выполнялось.
3. Если \(x = 0\), то неравенство не выполняется.

Таким образом, неравенство выполняется только при \(0 < x < 1\).

Итак, наименьшее значение, при котором квадратный корень превышает само число, равно \(x = \frac{1}{2}\).

После решения этой задачи, ученик должен понять, что неравенство \(x > x^2\) выполняется только в определенном диапазоне значений \(x\), а именно при \(0 < x < 1\).