Какое давление будет у одноатомного газа после изохорного охлаждения, если его внутренняя энергия уменьшилась

Serdce_Okeana_6752

61

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые известные законы газовой теории. Первым из них является уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\],

где P - давление газа, V - его объем, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, а T - абсолютная температура газа.

Также, у нас есть закон изохорного процесса, согласно которому объем газа остается неизменным:

\[V_1 = V_2\].

Поскольку газ является одноатомным, он имеет 3 степени свободы, поэтому у нас будет следующая связь между внутренней энергией газа и его температурой:

\[U = \frac{3}{2} nRT\].

Из задачи нам известно, что внутренняя энергия уменьшилась на 100 кДж. Таким образом, у нас есть:

\[U_1 - U_2 = -100 \, \text{кДж}\].

Используя выражение для внутренней энергии газа, получаем:

\[\frac{3}{2} nRT_1 - \frac{3}{2} nRT_2 = -100 \, \text{кДж}\].

Так как у нас изохорный процесс, то объем газа не меняется, а значит, \(V_1 = V_2\) и \(n_1 = n_2\).

Теперь мы можем связать давление и температуру газа, используя уравнение состояния идеального газа:

\[P_1 \cdot V_1 = n_1 \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot V_2 = n_2 \cdot R \cdot T_2\].

Поскольку \(V_1 = V_2\) и \(n_1 = n_2\), мы можем записать:

\[P_1 \cdot V = n \cdot R \cdot T_1\],
\[P_2 \cdot V = n \cdot R \cdot T_2\].

Разделив первое уравнение на второе, получаем:

\[\frac{P_1 \cdot V}{P_2 \cdot V} = \frac{T_1}{T_2}\].

Так как \(V\) и \(n\) у сокращаются, получаем:

\[\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}\].

Теперь, используя данную связь, мы можем выразить отношение давлений через отношение температур:

\[\frac{P - P_2}{P_1 - P_2} = \frac{T}{T_1}\].

Мы знаем, что внутренняя энергия газа уменьшилась на 100 кДж, а внутренняя энергия газа связана с его температурой:

\[U_1 - U_2 = \frac{3}{2} nR(T_1 - T_2)\].

Так как у нас одноатомный газ, \(U_1 - U_2 = -100 \, \text{кДж}\) и \(n = \frac{m}{M}\), где \(m\) - масса газа, а \(M\) - его молярная масса, можем переписать уравнение:

\[-100 \, \text{кДж} = \frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R \cdot (T_1 - T_2)\].

Мы видим, что \(m\) и \(M\) сокращаются, получаем:

\[-100 \, \text{кДж} = \frac{3}{2} \cdot R \cdot (T_1 - T_2)\].

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно разности температур:

\[T_1 - T_2 = \frac{-100 \, \text{кДж}}{\frac{3}{2} \cdot R}\].

Произведем необходимые вычисления:

\[T_1 - T_2 = \frac{-100 \, \text{кДж}}{\frac{3}{2} \cdot 8,314 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)}\].

\[T_1 - T_2 \approx \frac{-100 \, \text{кДж}}{12,471 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}}\].

\[T_1 - T_2 \approx -8,021 \, \text{К}\].

Теперь мы можем выразить отношение давлений через отношение температур:

\[\frac{P - P_2}{P_1 - P_2} = \frac{T}{T_1}\].

Подставляем известные значения:

\[\frac{P - P_2}{P_1 - P_2} = \frac{288 \, \text{К}}{T_1}\].

Раскрываем скобки и переписываем полученное уравнение:

\[\frac{P - P_2}{P_1 - P_2} = \frac{288 \, \text{К}}{T_1}.\]

Следовательно:

\(P - P_2 = \frac{P_1 - P_2}{T_1} \cdot 288 \, \text{К}.\)

Для нахождения искомого давления \(P\) после изохорного охлаждения, нам необходимо знать значения начального давления \(P_1\) и конечного давления \(P_2\) перед охлаждением, а также температуру газа до охлаждения \(T_1\). Если эти значения известны, мы можем просто подставить их в уравнение, чтобы найти \(P\). Пожалуйста, предоставьте эти значения, чтобы я мог продолжить решение задачи для вас.