Какое количество положительных трехзначных чисел включено в данную арифметическую прогрессию, если сумма первых

Пушистик_4042

46

Давайте начнем с того, что в данной арифметической прогрессии имеется заданное количество положительных трехзначных чисел. Наша задача - определить это количество.

Обозначим первый член прогрессии как \( a \), а разность между членами как \( d \). Исходя из этого, мы можем записать сумму первых 17 членов данной арифметической прогрессии:

\[ S_{17} = \frac{{17 \cdot (2a + 16d)}}{2} = 85 \]

Аналогично, сумма первых 21 члена данной прогрессии:

\[ S_{21} = \frac{{21 \cdot (2a + 20d)}}{2} = 189 \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \( a \) и \( d \). Решим эти уравнения методом подстановки.

Давайте выразим \( a \) из первого уравнения:

\[ a = \frac{{85 - 16d}}{17} \]

Подставим это выражение для \( a \) во второе уравнение:

\[ \frac{{21 \cdot (2 \cdot \frac{{85 - 16d}}{17} + 20d)}}{2} = 189 \]

Упростим это уравнение:

\[ 21 \cdot (\frac{{170 - 32d + 20d}}{17}) = 189 \]

\[ 21 \cdot (170 - 12d) = 189 \cdot 17 \]

\[ 3570 - 252d = 3213 \]

\[ 252d = 3570 - 3213 \]

\[ 252d = 357 \]

\[ d = \frac{{357}}{252} \]

\[ d = \frac{{119}}{84} \]

\[ d = \frac{{7}}{4} \]

Теперь, когда мы нашли значение разности \( d \), мы можем подставить его в первое уравнение для нахождения значения первого члена \( a \):

\[ a = \frac{{85 - 16 \cdot \frac{{7}}{4}}}{17} \]

\[ a = \frac{{85 - \frac{{112}}{4}}}{17} \]

\[ a = \frac{{85 - 28}}{17} \]

\[ a = \frac{{57}}{17} \]

Теперь, чтобы найти количество положительных трехзначных чисел, содержащихся в данной прогрессии, мы должны найти последний трехзначный член и вычислить разницу между первым и последним трехзначными числами.

Последний трехзначный член можно найти, подставив \( n = 3 \) (трехзначные числа) в формулу \( a + (n - 1) \cdot d \):

\[ a + (3 - 1) \cdot d = \frac{{57}}{17} + 2 \cdot \frac{{7}}{4} \]

\[ \frac{{57}}{17} + \frac{{7}}{2} \]

\[ \frac{{114 + 119}}{34} \]

\[ \frac{{233}}{34} \]

Первый трехзначный член - \( 100 \), так как это минимальное трехзначное число.

Теперь найдем количество положительных трехзначных чисел, разделив разницу между последним и первым трехзначным числами на разность членов \( d \):

\[ N = \frac{{\frac{{233}}{34} - 100}}{\frac{{7}}{4}} = \frac{{{\frac{{233}}{34} - \frac{{100 \cdot 7}}{34}}}}{\frac{{7}}{4}} = \frac{{\frac{{233 - 700}}{34}}}{\frac{{7}}{4}} = \frac{{\frac{{-467}}{34}}}{\frac{{7}}{4}} \]

\[ \frac{{-467 \cdot 4}}{34 \cdot 7} \]

\[ \frac{{-1868}}{238} \]

Итак, количество положительных трехзначных чисел в данной арифметической прогрессии равно около -7.85. Отрицательное количество не имеет смысла, поэтому можно сказать, что в данной прогрессии нет положительных трехзначных чисел.