Каковы координаты точек пересечения прямой y=12x-11 с параболой y=x^2?

Огонек_4998

57

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой \(y = 12x - 11\) с параболой \(y = x^2\), мы должны решить систему уравнений, в которой оба уравнения равны между собой.

Поскольку оба уравнения уже заданы в виде функций \(y\), мы можем приравнять их друг к другу:

\[12x - 11 = x^2\]

Далее, нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Поскольку оно уже находится в канонической форме, мы можем применить квадратное уравнение:

\[x^2 - 12x + 11 = 0\]

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где в нашем случае \(a = 1\), \(b = -12\), и \(c = 11\). Подставляя значения, получим:

\[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11\]
\[D = 144 - 44\]
\[D = 100\]

Теперь, вычислив дискриминант, мы можем определить, есть ли у данного уравнения решения. Если дискриминант положительный (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных корня, если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то у уравнения есть один корень, и если дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), то у уравнения нет решений.

В нашем случае, так как \(D = 100 > 0\), у нас есть два различных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Теперь мы можем найти значения \(x\):

\[x = \frac{{-(-12) \pm \sqrt{100}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[x = \frac{{12 \pm 10}}{{2}}\]

Выполняя арифметические действия, получаем два значения \(x\):

\[x_1 = \frac{{12 + 10}}{{2}} = \frac{{22}}{{2}} = 11\]
\[x_2 = \frac{{12 - 10}}{{2}} = \frac{{2}}{{2}} = 1\]

Таким образом, у нас есть два значения \(x\): \(x_1 = 11\) и \(x_2 = 1\).

Теперь мы можем использовать эти значения \(x\), чтобы найти соответствующие им значения \(y\). Подставляя каждое значение \(x\) в любое из исходных уравнений, мы получим:

Для \(x_1 = 11\):
\[y_1 = 12 \cdot 11 - 11 = 132 - 11 = 121\]

Для \(x_2 = 1\):
\[y_2 = 12 \cdot 1 - 11 = 12 - 11 = 1\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения прямой \(y = 12x - 11\) с параболой \(y = x^2\): (11, 121) и (1, 1).