Какое количество шахматистов приняло участие в турнире, если каждый игрок сыграл по одной партии со всеми остальными

Artemiy

26

Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на условие более внимательно.

Мы знаем, что каждый шахматист сыграл по одной партии со всеми остальными участниками. Это означает, что каждый участник сыграл \(n-1\) партию, где \(n\) - количество участников. Также, по условию, было сыграно 10 раз больше партий, чем число участников.

Мы можем представить себе каждую партию как два участника, которые играют друг против друга. Таким образом, общее количество партий равно количеству возможных комбинаций двух участников из общего числа участников. Мы можем использовать формулу для сочетаний, чтобы найти это количество. Формула для сочетаний записывается как \(C(n, 2)\), где \(C\) - это символ "C" из сочетаний, \(n\) - общее число участников, а 2 - количество участников в каждой паре. Таким образом, общее количество партий можно выразить как:

\[ C(n, 2) = \frac{n!}{(n-2)!2!} \]

Согласно условию, общее количество партий равно 10 разам числу участников:

\[ C(n, 2) = 10n \]

Теперь, чтобы решить это уравнение и найти \(n\), мы можем раскрыть формулу для сочетаний и решить полученное уравнение. Давайте перейдем к следующему шагу.

Раскроем формулу для сочетаний:

\[ \frac{n!}{(n-2)!2!} = 10n \]

\[ \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2!} = 10n \]

Здесь можно заметить, что \( (n-2)! \) сокращается в числителе и знаменателе:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 10n \]

Давайте упростим это уравнение, раскрыв скобки:

\[ \frac{n^2 - n}{2} = 10n \]

\[ n^2 - n = 20n \]

\[ n^2 - 21n = 0 \]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем вынести \(n\) как общий множитель:

\[ n(n - 21) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(n\): 0 или 21. Однако, поскольку мы говорим о количестве шахматистов, количество не может быть 0. Поэтому, количество шахматистов, принявших участие в турнире, равно 21.

Таким образом, ответ на задачу составляет 21.