Какое количество войлока потребуется для покрытия юрты диаметром 5 м, высотой 3 м и стенами высотой 2 м, если

Akula

31

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо вычислить общую площадь поверхности юрты и узнать, сколько войлока нужно для ее покрытия в два слоя.

Юрта имеет форму конуса, с большим основанием в форме окружности и образует правильный цилиндр с плоским верхом. Для нахождения площади поверхности юрты, мы разделим ее на площади основания и площади образующей поверхности, а затем сложим эти значения.

Начнем с площади основания. Основание юрты - это окружность радиусом 2,5 м (половина диаметра). Площадь основания юрты можно найти по формуле площади круга: \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Мы знаем, что диаметр юрты равен 5 м, а значит, радиус равен 2,5 м:

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot 2,5^2\]

Теперь вычислим площадь образующей поверхности. Образующая поверхность конуса представляет собой окружность, которую можно вырезать и развернуть в форме сектора. Площадь образующей поверхности можно найти по формуле длины окружности, умноженной на ее длину:

\[S_{\text{образ}} = 2\pi r \cdot l\]

где \(l\) - длина образующей поверхности.

Для нахождения длины образующей поверхности, нам необходимо применить теорему Пифагора к правильному треугольнику, образованному высотой юрты, радиусом основания и образующей поверхности. Длина образующей поверхности может быть найдена следующим образом:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

где \(r\) - радиус основания, \(h\) - высота юрты.

Теперь мы можем вычислить площадь образующей поверхности исходя из найденной длины образующей поверхности:

\[S_{\text{образ}} = 2\pi \cdot 2,5 \cdot \sqrt{2,5^2 + 3^2}\]

Наконец, чтобы найти общую площадь поверхности юрты, мы должны сложить площади основания и образующей поверхности:

\[S_{\text{общ}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{образ}}\]

\[S_{\text{общ}} = \pi \cdot 2,5^2 + 2\pi \cdot 2,5 \cdot \sqrt{2,5^2 + 3^2}\]

Теперь, чтобы найти количество войлока, которое необходимо для покрытия юрты в два слоя, нам нужно умножить общую площадь поверхности юрты на 2:

\[S_{\text{покр}} = 2 \cdot S_{\text{общ}}\]

\[S_{\text{покр}} = 2 \cdot (\pi \cdot 2,5^2 + 2\pi \cdot 2,5 \cdot \sqrt{2,5^2 + 3^2})\]

Теперь мы получили площадь поверхности юрты, которую нужно покрыть войлоком в два слоя. Школьнику будет полезно указать численное значение площади, чтобы он мог привести итоговый ответ:

\[S_{\text{покр}} \approx 117,45\]

Таким образом, для покрытия юрты диаметром 5 м, высотой 3 м и стенами высотой 2 м в два слоя потребуется примерно 117,45 квадратных метров войлока.