Какое максимальное количество компонент связности может присутствовать в графе, содержащем 10 вершин со степенью 1

Синица_8270

63

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать понятие компонент связности в графе. Компонента связности - это набор вершин, в котором каждая вершина соединена с другими вершинами этой же компоненты в графе.

Для начала, давайте определим минимально возможное количество компонент связности в графе. Всего в графе 30 вершин (10 вершин со степенью 1 и 20 вершин со степенью 2), и поскольку в графе нет петель или кратных ребер, каждая вершина со степенью 1 будет являться отдельной компонентой связности. Таким образом, у нас будет 10 компонент связности из вершин со степенью 1.

Теперь давайте рассмотрим вершины со степенью 2. Если две вершины соединены ребром, то они будут принадлежать к одной компоненте связности. Однако, поскольку каждая вершина со степенью 2 имеет две связи, нам нужно соединить их с другими вершинами в графе, чтобы эти связи существовали. Представим ситуацию, где каждая вершина со степенью 2 соединена с другой вершиной, и нет дополнительных связей. Тогда у нас будет 20/2 = 10 компонент связности, так как каждая пара вершин будет составлять отдельную компоненту.

Таким образом, суммарное количество компонент связности в данном графе будет 10 (компоненты связности, образованные вершинами со степенью 1) + 10 (компоненты связности, образованные вершинами со степенью 2) = \(\boxed{20}\).

Теперь давайте рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать это. Предположим, что у нас есть граф с 10 вершинами со степенью 1 и 20 вершинами со степенью 2, и каждая вершина со степенью 2 соединена только с другой вершиной. Граф будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{ccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
A & B & C & D & E & F & G & H & I & J \\
\end{array}
\]

Здесь вершины со степенью 1 (1, 2, 3, ..., 10) образуют отдельные компоненты связности. А вершины со степенью 2 (A, B, C, ..., J) образуют еще 10 компонент связности, так как они соединены только с одной другой вершиной. Следовательно, общее количество компонент связности равно 20.