Какое максимальное натуральное число можно использовать вместо n, чтобы сократить дробь (6n+7)/(8n+9), где n - целое

Plamennyy_Kapitan

46

Конечно! Чтобы найти натуральное число \(n\), которое можно подставить вместо \(n\) в выражении \(\frac{{6n + 7}}{{8n + 9}}\), чтобы дробь сократилась, мы должны найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 6 и 8.

НОД - это наибольшее число, которое одновременно делит 6 и 8 без остатка. Чтобы найти НОД, мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида.

Алгоритм Евклида утверждает, что для любых двух чисел \(a\) и \(b\), если \(a > b\), то НОД \(a\) и \(b\) равен НОД \(b\) и \(a - b\).

Применим алгоритм Евклида:

1. Вычтем 6 из 8. Получим 2.
2. Вычтем 2 из 6. Получим 4.
3. Вычтем 2 из 4. Получим 2.
4. Вычтем 2 из 2. Получим 0.

Когда результат стал равен 0, мы достигли НОД(6, 8), который равен 2.

Теперь, чтобы дробь \(\frac{{6n + 7}}{{8n + 9}}\) сократилась, должно быть верно, что НОД(6, 8) делит числитель и знаменатель дроби.

Таким образом, нам нужно найти значение \(n\), для которого 2 делит 6\(n\) + 7 и 8\(n\) + 9 без остатка.

Давайте проверим несколько значений \(n\):

Пусть \(n = 1\). Тогда 6\(n\) + 7 = 13 и 8\(n\) + 9 = 17. Ни одно из этих чисел не делится нацело на 2.

Пусть \(n = 2\). Тогда 6\(n\) + 7 = 19 и 8\(n\) + 9 = 25. Ни одно из этих чисел не делится нацело на 2.

Пусть \(n = 3\). Тогда 6\(n\) + 7 = 25 и 8\(n\) + 9 = 33. Ни одно из этих чисел не делится нацело на 2.

Мы видим, что до сих пор нет значений \(n\), для которых дробь \(\frac{{6n + 7}}{{8n + 9}}\) сократилась.

Однако, если мы продолжим проверять значения \(n\), мы обнаружим, что при \(n = 42\) дробь сократится:

При \(n = 42\):
6\(n\) + 7 = 259
8\(n\) + 9 = 345

2 делит и 259, и 345 без остатка.

Таким образом, максимальное натуральное число \(n\), которое можно использовать вместо \(n\) в выражении \(\frac{{6n + 7}}{{8n + 9}}\), чтобы дробь сократилась, равно 42.