Какое максимальное значение может иметь площадь прямоугольника после уменьшения большей стороны на y см и увеличения

Cikada

13

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \(a\) и \(b\) будут сторонами исходного прямоугольника, где \(a\) - большая сторона и \(b\) - меньшая сторона. Мы знаем, что после уменьшения большей стороны на \(y\) см она будет равна \(a-y\), а после увеличения меньшей стороны на 3 см она будет равна \(b+3\).

Теперь мы можем выразить площадь исходного прямоугольника и площадь прямоугольника после изменений:

Площадь исходного прямоугольника: \(S_1 = a \cdot b\)

Площадь прямоугольника после изменений сторон: \(S_2 = (a-y) \cdot (b+3)\)

Мы хотим найти максимальное значение площади после выполнения данных изменений. Чтобы найти это значение, вычислим \(S_2\) как функцию переменной \(a\) и возьмем ее максимум.

\(S_2 = (a-y) \cdot (b+3) = ab + 3a - by - 3y\)

Теперь мы можем найти производную этой функции по переменной \(a\) и приравнять ее к нулю, чтобы найти критическую точку:

\(\frac{dS_2}{da} = b + 3 = 0\)

Из этого следует, что \(b = -3\).

Теперь, чтобы убедиться, что это действительно максимум, найдем вторую производную:

\(\frac{d^2S_2}{da^2} = 0\)

Так как вторая производная равна нулю, то у нас есть точка перегиба.

Таким образом, максимальное значение площади будет достигаться при \(a = y\) и \(b = -3\).

Подставим эти значения в формулу для площади прямоугольника после изменений:

\(S_2 = (a-y) \cdot (b+3) = (y-y) \cdot (-3+3) = 0\)

Таким образом, максимальное значение площади прямоугольника после данных изменений равно 0.

Теперь найдем значение дроби при \(a = -3\) и \(b = -3\):

\(\frac{-3}{-3-3}\)

\(=-\frac{1}{2}\)

Поэтому значение дроби равно -1/2.

В ответе нужно записать значение площади в виде десятичной дроби, поэтому ответом будет:

Площадь прямоугольника после изменений: 0
Значение дроби при a = -3 и b = -3: -1/2