Какое максимальное значение может принимать функция y=3/x^2+5x+7?

Timofey

54

Чтобы определить максимальное значение функции \(y\) в заданном уравнении \(y = \frac{3}{{x^2 + 5x + 7}}\), вам потребуется использовать метод дифференцирования и анализировать точки экстремума.

1. Прежде чем продолжить, необходимо решить уравнение в знаменателе. Поскольку знаменатель является квадратным трехчленом, давайте решим уравнение \(x^2 + 5x + 7 = 0\) с помощью квадратного уравнения.

Уравнение \(x^2 + 5x + 7 = 0\) не имеет рациональных корней. В этом случае мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы проверить, существуют ли действительные корни. Дискриминант \(\Delta = b^2 - 4ac\) равен 5^2 - 4(1)(7) = 25 - 28 = -3, что меньше нуля. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней, и знаменатель никогда не равен нулю.

2. Теперь найдем максимальное значение функции \(y\) с помощью дифференцирования. Возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{3}}{{x^2 + 5x + 7}}\right)
\]

Для этого мы можем использовать правило дифференцирования частного функций.


Мы можем записать данную функцию как:

\[
\frac{{3}}{{x^2 + 5x + 7}} = 3 \cdot (x^2 + 5x + 7)^{-1}
\]

Теперь мы можем применить правило дифференцирования частного:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3 \cdot \left(-1\right) \cdot (x^2 + 5x + 7)^{-2} \cdot \left(\frac{{d}}{{dx}}(x^2 + 5x + 7)\right)
\]

3. Давайте продолжим дифференцирование \(\left(\frac{{d}}{{dx}}(x^2 + 5x + 7)\right)\). Возьмем производную трехчлена по переменной \(x\):

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x^2 + 5x + 7) = 2x + 5
\]

4. Возвращаясь к исходному уравнению для производной:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3 \cdot \left(-1\right) \cdot (x^2 + 5x + 7)^{-2} \cdot (2x + 5)
\]

5. Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
3 \cdot \left(-1\right) \cdot (x^2 + 5x + 7)^{-2} \cdot (2x + 5) = 0
\]

Единственный множитель, который может быть равен нулю, - это \(2x + 5\). Решая уравнение \(2x + 5 = 0\), получаем \(x = -\frac{5}{2}\).

6. Чтобы убедиться, что это точка экстремума, возьмите вторую производную:

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(3 \cdot \left(-1\right) \cdot (x^2 + 5x + 7)^{-2} \cdot (2x + 5)\right)
\]

7. Поскольку это слишком сложное дифференциальное уравнение, мы можем проверить, как ведет себя функция в окрестности точки \(x = -\frac{5}{2}\).

По анализу можно сделать вывод, что функция \(y\) не достигает максимального значения, так как знаменатель всегда положительный. Тем не менее, мы можем использовать анализ точек экстремума для определения минимального значения.

В итоге, данная функция не имеет максимального значения. Но если вам нужно найти минимальное значение, то вы можете использовать найденную точку экстремума и подставить ее в исходное уравнение, чтобы получить соответствующее значение \(y\).