Какое максимальное значение параметра b должно быть выбрано, чтобы неравенство 2b+b2−2bsinx> cos2x+2 не было выполнено

Andreevich

21

Для того чтобы неравенство \(2b+b^2-2b\sin{x} > \cos^2{x} + 2\) не выполнялось для любого значения \(x\), необходимо, чтобы выражение \(2b+b^2\) было не меньше выражения \(\cos^2{x} + 2\) для всех значений \(x\).

Однако, так как \(2b + b^2\) - это квадратное выражение, а \(\cos^2{x} + 2\) - это постоянное выражение, то нам нужно, чтобы дискриминант этого квадратного выражения был меньше или равен нулю.

Дискриминант квадратного выражения \(2b + b^2\) равен \(b^2 - 8b\). Чтобы найти максимальное значение параметра \(b\), при котором это выражение меньше или равно нулю, решим неравенство \(b^2 - 8b \leq 0\).

Для этого факторизуем выражение \(b^2 - 8b\) как \(b(b - 8)\) и найдём корни уравнения \(b(b - 8) = 0\). Получаем два корня: \(b = 0\) и \(b = 8\).

Теперь определим интервалы, в которых \(b^2 - 8b \leq 0\). Подставим в это выражение значения из каждого интервала:

1. \(b < 0\) - Выражение \(b^2 - 8b\) будет положительным для всех \(b < 0\).
2. \(0 < b < 8\) - Выражение \(b^2 - 8b\) будет отрицательным для \(0 < b < 8\).
3. \(b > 8\) - Выражение \(b^2 - 8b\) снова будет положительным для всех \(b > 8\).

Таким образом, максимальным значением параметра \(b\), при котором неравенство не будет выполнено для любого \(x\), является \(b = 8\).

Квадрат найденного значения \(b\) равен \(8^2 = 64\).