Какое максимальное значение периода вращения может достигнуть сосуд с водой, подвешенный на веревке длиной

Kosmos

68

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон сохранения механической энергии.

Пусть максимальное значение периода вращения сосуда с водой будет обозначено как \(T\).

Момент инерции \(I\) системы сосуда с водой можно выразить следующим образом:

\[I = m_{\text{сосуда}} \cdot r_{\text{цм}}^2 + m_{\text{воды}} \cdot r^2\]

где \(m_{\text{сосуда}}\) - масса сосуда, \(r_{\text{цм}}\) - расстояние от оси вращения до центра масс сосуда, \(m_{\text{воды}}\) - масса воды, \(r\) - расстояние от оси вращения до поверхности воды в сосуде.

Так как вода в сосуде не выливается, центр масс системы остается находиться посредине между осью вращения и поверхностью воды, следовательно \(r_{\text{цм}} = \frac{r}{2}\).

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии:

\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

На начальном этапе сосуд подвешен на веревке, и его высота относительно земли равна 1 метру, а на конечном этапе сосуд достигает максимального значения периода вращения.

На начальном этапе сосуд имеет только потенциальную энергию, которая выражается следующим образом:

\[E_{\text{начальная}} = m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h\]

где \(m_{\text{всего}}\) - полная масса системы сосуда с водой, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота сосуда относительно земли.

На конечном этапе, помимо потенциальной энергии, у сосуда с водой также есть кинетическая энергия вращения. Эти две энергии можно выразить следующим образом:

\[E_{\text{конечная}} = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2 + m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h\]

где \(\omega\) - угловая скорость сосуда с водой.

Так как максимальное значение периода вращения достигается, когда сосуд находится в крайнем положении, то \(\omega\) можно выразить следующим образом:

\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)

Теперь проведем подстановку в наше уравнение сохранения энергии:

\[m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 + m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h\]

Отсюда, выражая момент инерции \(I\), получаем следующее:

\[I = \frac{T^2 \cdot m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h}{4\pi^2}\]

Теперь подставляем выражение для момента инерции в формулу, которая была дана ранее:

\[I = m_{\text{сосуда}} \cdot r_{\text{цм}}^2 + m_{\text{воды}} \cdot r^2\]

\[\frac{T^2 \cdot m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h}{4\pi^2} = m_{\text{сосуда}} \cdot \left(\frac{r}{2}\right)^2 + m_{\text{воды}} \cdot r^2\]

Упрощаем полученное уравнение:

\[\frac{T^2 \cdot m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h}{4\pi^2} = \frac{m_{\text{сосуда}} \cdot r^2}{4} + m_{\text{воды}} \cdot r^2\]

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{4\pi^2}{m_{\text{всего}} \cdot g \cdot h}\):

\[T^2 = \frac{r^2}{1} + \frac{4 \cdot m_{\text{воды}} \cdot r^2 \cdot \pi^2}{m_{\text{сосуда}} \cdot g \cdot h}\]

\[T^2 = r^2 \cdot \left(1 + \frac{4 \cdot m_{\text{воды}} \cdot \pi^2}{m_{\text{сосуда}} \cdot g \cdot h}\right)\]

Получившуюся формулу опускаем с введением конкретных числовых значений массы сосуда, массы воды, ускорения свободного падения и высоты сосуда. Подставляем значения и решаем полученное уравнение для \(T\).

Таким образом, мы можем определить максимальное значение периода вращения сосуда с водой, подвешенного на веревке длиной 1 метр при условии, что вода из него не выливается.