Какое максимальное значение принимает функция y=2x^3-54x+1 на данном отрезке?

Ксения

20

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = 2x^3 - 54x + 1\) на данном отрезке, нам нужно использовать метод дифференцирования. Это позволит нам найти точку экстремума функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого возьмем производную от каждого слагаемого функции и запишем их в одну формулу.
\[y" = 6x^2 - 54\]

Шаг 2: Теперь нам нужно найти точку, в которой производная равна нулю. Решим уравнение \(y" = 0\).
\[6x^2 - 54 = 0\]

Шаг 3: Разрешим уравнение, чтобы найти значения \(x\). Найдем корни этого квадратного уравнения:
\[6x^2 - 54 = 0\]
\[6(x^2 - 9) = 0\]
\[x^2 - 9 = 0\]
\[(x - 3)(x + 3) = 0\]
\[x = 3\quad \text{или} \quad x = -3\]

Таким образом, точками экстремума (\(x\)-координатами) являются 3 и -3.

Шаг 4: Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, нам нужно проанализировать вторую производную функции \(y\). Возьмем производную от производной функции \(y"\).
\[y"" = 12x\]

Шаг 5: Подставим значения \(x\) в выражение для \(y""\), чтобы определить знак второй производной на соответствующих отрезках.
\[y""(3) = 12 \cdot 3 = 36\]
\[y""(-3) = 12 \cdot (-3) = -36\]

Так как значение \(y""\) положительное при \(x = 3\), а отрицательное при \(x = -3\), то точка \(x = 3\) является минимумом, а точка \(x = -3\) - максимумом.

Шаг 6: Найдем значения функции \(y\) при \(x = 3\) и при \(x = -3\), чтобы определить максимальное значение на данном отрезке.
\[y(3) = 2 \cdot 3^3 - 54 \cdot 3 + 1 = 55\]
\[y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 - 54 \cdot (-3) + 1 = 145\]

Таким образом, на данном отрезке максимальное значение функции \(y\) равно 145.

Надеюсь, этот пошаговый подход помог вам понять процесс нахождения максимального значения функции в данной задаче. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!