Знайдіть найменше спільне кратне для наступних пар чисел: 1) 12 та 18; 2) 14 та 28; 3) 8 та 9. Знайдіть найбільший

Rys

12

Для решения этих задач нам понадобится знание о понятиях "наименьшее общее кратное" и "наибольший общий делитель". Давайте начнем с нахождения наименьшего общего кратного.

1) Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел 12 и 18, мы можем использовать два метода: метод простых множителей и метод деления.

Метод простых множителей:
- Разложим каждое число на простые множители. Для числа 12 это будет \(2 \times 2 \times 3\), а для числа 18 - \(2 \times 3 \times 3\).
- Выпишем все простые множители и количество раз, сколько раз они встречаются в разложении каждого числа. Получим: \(2^2 \times 3^1\).
- Найдем произведение всех простых множителей, возводя каждый из них в максимальную степень, найденную на предыдущем шаге. В нашем случае, это будет: \(2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\).
- Полученное число 12 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

Метод деления:
- Начнем с числа 18. Последовательно делим его на числа, начиная с 1, до тех пор, пока число не станет делиться на 12 без остатка. В нашем случае, мы увидим, что 18 делится на 6 без остатка.
- Полученное число 6 является наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

Таким образом, наименьшее общее кратное чисел 12 и 18 равно 12.

2) Перейдем к следующей паре чисел - 14 и 28.

Метод простых множителей:
- Разложим каждое число на простые множители. Для числа 14 это будет \(2 \times 7\), а для числа 28 - \(2 \times 2 \times 7\).
- Выпишем все простые множители и количество раз, сколько раз они встречаются в разложении каждого числа. Получим: \(2^2 \times 7^1\).
- Найдем произведение всех простых множителей, возводя каждый из них в максимальную степень, найденную на предыдущем шаге. В нашем случае, это будет: \(2^2 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28\).
- Полученное число 28 является наименьшим общим кратным чисел 14 и 28.

Метод деления:
- Начнем с числа 28. Последовательно делим его на числа, начиная с 1, до тех пор, пока число не станет делиться на 14 без остатка. В нашем случае, мы увидим, что 28 делится на 14 без остатка.
- Полученное число 14 является наименьшим общим кратным чисел 14 и 28.

Таким образом, наименьшее общее кратное чисел 14 и 28 равно 28.

3) Перейдем к последней паре чисел - 8 и 9.

Метод простых множителей:
- Разложим каждое число на простые множители. Для числа 8 это будет \(2 \times 2 \times 2\), а для числа 9 - \(3 \times 3\).
- Выпишем все простые множители и количество раз, сколько раз они встречаются в разложении каждого числа. Получим: \(2^3 \times 3^2\).
- Найдем произведение всех простых множителей, возводя каждый из них в максимальную степень, найденную на предыдущем шаге. В нашем случае, это будет: \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\).
- Полученное число 72 является наименьшим общим кратным чисел 8 и 9.

Метод деления:
- Начнем с числа 9. Последовательно делим его на числа, начиная с 1, до тех пор, пока число не станет делиться на 8 без остатка. В нашем случае, мы увидим, что 9 делится на 8 без остатка.
- Полученное число 8 является наименьшим общим кратным чисел 8 и 9.

Таким образом, наименьшее общее кратное чисел 8 и 9 равно 72.

Теперь перейдем к нахождению наибольшего общего делителя (НОД) чисел.

1) Для нахождения наибольшего общего делителя чисел 24 и 42 мы также можем использовать два метода: метод простых множителей и метод вычитания.

Метод простых множителей:
- Разложим каждое число на простые множители. Для числа 24 это будет \(2 \times 2 \times 2 \times 3\), а для числа 42 - \(2 \times 3 \times 7\).
- Выпишем все простые множители и количество раз, сколько раз они встречаются в разложении каждого числа. Получим: \(2^3 \times 3^1 \times 7^1\).
- Найдем произведение всех простых множителей, возводя каждый из них в минимальную степень, найденную на предыдущем шаге. В нашем случае, это будет: \(2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42\).
- Полученное число 42 является наибольшим общим делителем чисел 24 и 42.

Метод вычитания:
- Начнем с чисел 24 и 42. Последовательно вычитаем меньшее число из большего до тех пор, пока числа не станут равными. В нашем случае, мы будем вычитать 24 из 42.
- Вычитая 24 из 42, мы получим 18. Теперь вычитаем 18 из 24.
- Продолжая этот процесс до тех пор, пока числа не станут равными, мы увидим, что получили число 6.
- Полученное число 6 является наибольшим общим делителем чисел 24 и 42.

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 24 и 42 равен 6.

2) Перейдем к последней паре чисел - 128 и 256.

Метод простых множителей:
- Разложим каждое число на простые множители. Для числа 128 это будет \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\), а для числа 256 - \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\).
- Выпишем все простые множители и количество раз, сколько раз они встречаются в разложении каждого числа. Получим: \(2^7\).
- Найдем произведение всех простых множителей, возводя каждый из них в минимальную степень, найденную на предыдущем шаге. В нашем случае, это будет: \(2^7 = 128\).
- Полученное число 128 является наибольшим общим делителем чисел 128 и 256.

Метод вычитания:
- Начнем с чисел 128 и 256. Последовательно вычитаем меньшее число из большего до тех пор, пока числа не станут равными. В нашем случае, мы будем вычитать 128 из 256.
- Полученное число 128 является наибольшим общим делителем чисел 128 и 256.

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 128 и 256 равен 128.

Надеюсь, эти шаги и объяснения помогли вам понять, как найти наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для данных пар чисел. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задавайте!