Какое минимальное значение может принимать выражение A = x + 9/x + 5 (при x

Morozhenoe_Vampir_5491

38

Конечно! Давайте решим данную задачу по шагам.

У нас дано выражение \(A = x + \frac{9}{x} + 5\), и нам нужно определить его минимальное значение при заданных условиях.

1. Для начала заметим, что в данном выражении у нас есть две переменные: \(x\) и \(A\).
2. Чтобы найти минимальное значение, мы можем воспользоваться теорией производных. Сначала найдем производную выражения \(A\) по переменной \(x\).

Для этого мы применим правило дифференцирования для суммы и частного:

\[
\frac{d}{dx}(x + \frac{9}{x} + 5) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\frac{9}{x}) + \frac{d}{dx}(5)
\]

3. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная постоянного слагаемого, такого как число 5, равна нулю:

\[
\frac{d}{dx}(5) = 0
\]

Производная слагаемого \(x\) равна 1:

\[
\frac{d}{dx}(x) = 1
\]

Производная слагаемого \(\frac{9}{x}\) можно найти, применив правило дифференцирования для частного:

\[
\frac{d}{dx}(\frac{9}{x}) = \frac{0 \cdot x - 9 \cdot 1}{x^2} = \frac{-9}{x^2}
\]

4. Теперь найдем производную всего выражения \(A\) по переменной \(x\), используя найденные производные для слагаемых:

\[
\frac{d}{dx}(A) = 1 + \frac{-9}{x^2}
\]

5. Чтобы найти минимальное значение выражения \(A\), мы должны приравнять производную к нулю и найти значение переменной \(x\), удовлетворяющей этому условию:

\[
1 + \frac{-9}{x^2} = 0
\]

6. Решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[
\frac{-9}{x^2} = -1
\]

7. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на \(x^2\):

\[
-9 = -x^2
\]

8. Теперь, чтобы найти значение \(x\), возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[
x = \sqrt{9}
\]

Так как нам нужно минимальное значение, возьмем положительный корень:

\[
x = 3
\]

9. Получили, что \(x = 3\) является точкой минимума для данного выражения \(A\).

10. Теперь найдем минимальное значение выражения \(A\) подставив \(x = 3\) в исходную формулу:

\[
A = 3 + \frac{9}{3} + 5 = 3 + 3 + 5 = 11
\]

Таким образом, минимальное значение выражения \(A\) равно 11 при \(x = 3\).

Надеюсь, что решение было понятным и подробным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавайте их!