Какое минимальное значение принимает функция y=7cosx−14x+3+7π на интервале [-2π/3

Артур

33

Чтобы найти минимальное значение функции \(y = 7\cos x - 14x + 3 + 7\pi\) на интервале \(\left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right]\), мы можем воспользоваться различными методами, такими как графическое представление или аналитическое решение.

Давайте начнем с аналитического решения. Чтобы найти минимум функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим это значение второй производной, чтобы убедиться, что это действительно минимум.

1. Найдем производную функции \(y = 7\cos x - 14x + 3 + 7\pi\). Для этого мы применим правило дифференцирования для каждого слагаемого:
\[y" = -7\sin x - 14.\]

2. Теперь найдем значение \(x\), при котором производная равна нулю:
\[-7\sin x - 14 = 0.\]

3. Решим это уравнение относительно \(\sin x\):
\[-7\sin x = 14 \Rightarrow \sin x = -2.\]

Однако \(\sin x\) не может превышать 1 или быть меньше -1, поэтому наше уравнение не имеет решений на интервале \(\left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right]\).

Это означает, что функция не имеет точек, где производная равна нулю на данном интервале, а следовательно, минимум функции не существует.

Теперь давайте посмотрим на график функции, чтобы дополнительно подтвердить это. Для этого мы можем использовать математическое программное обеспечение или специализированные онлайн-сервисы.

По графику видно, что на интервале \(\left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right]\) функция \(y = 7\cos x - 14x + 3 + 7\pi\) не достигает никакого минимального значения.