Какое минимальное значение принимает выражение (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8), при условии, что произведение

Zimniy_Son_2098

64

Чтобы найти минимальное значение выражения \((a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\) при условии, что произведение положительных чисел \(a, b, c, d\) равно заданному значению, мы можем использовать несколько шагов.

Первый шаг: Для начала, давайте разложим выражение на множители. У нас есть пять скобок, поэтому мы можем разделить выражение на пять множителей:

\((a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\)

Второй шаг: Теперь, учитывая условие, что произведение положительных чисел \(a, b, c, d\) равно некоторому значению, давайте введем новые переменные \(x = 2a+b\), \(y = 2b+c\), и \(z = 2c+d\). Тогда, выражение станет:

\((a+1)(x)(y)(z)(d+8)\)

Третий шаг: Чтобы найти минимальное значение выражения, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

\[\frac{{a+1+x+y+z+d+8}}{6} \geq \sqrt[6]{{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}}\]

Четвертый шаг: Для минимального значения выражения, равенство в этом неравенстве должно выполняться. Поскольку мы знаем, что произведение положительных чисел \(a, b, c, d\) равно определенному значению, мы можем подставить это значение вместо переменной \(d\) и далее упростить:

\[\frac{{a+1+x+y+z+d+8}}{6} = \sqrt[6]{{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}}\]

\[\frac{{a+1+x+y+z+d+8}}{6} = \sqrt[6]{{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}}\]

\[\frac{{a+1+x+y+z+d+8}}{6} = \sqrt[6]{{(a+1)^2(x)^2(y)^2(z)^2(d+8)^2}}\]

\[\frac{{a+1+x+y+z+d+8}}{6} = (a+1)(x)(y)(z)(d+8)\]

Пятый шаг: Подставив значения переменных \(x = 2a+b\), \(y = 2b+c\), и \(z = 2c+d\) и учитывая условие произведения положительных чисел, мы можем записать следующее:

\[\frac{{a+1+2a+b+2b+c+2c+d+8}}{6} = (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\]

Шестой шаг: Для минимального значения выражения, равенство в этом уравнении также должно выполняться. Теперь можем упростить это уравнение, сокращая и объединяя подобные члены:

\[\frac{{6a+6b+6c+6d+10}}{6} = (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\]

\[a+b+c+d+ \frac{5}{3} = (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\]

Вот ответ: минимальное значение выражения \((a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)\) при условии, что произведение положительных чисел \(a, b, c, d\) равно некоторому значению, будет \(a+b+c+d+ \frac{5}{3}\).