Какое минимальное значение принимает выражение (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8), при условии, что произведение

Zimniy_Son_2098

64

Чтобы найти минимальное значение выражения $(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$ при условии, что произведение положительных чисел $a,b,c,d$ равно заданному значению, мы можем использовать несколько шагов.

Первый шаг: Для начала, давайте разложим выражение на множители. У нас есть пять скобок, поэтому мы можем разделить выражение на пять множителей:

$(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$

Второй шаг: Теперь, учитывая условие, что произведение положительных чисел $a,b,c,d$ равно некоторому значению, давайте введем новые переменные $x=2a+b$, $y=2b+c$, и $z=2c+d$. Тогда, выражение станет:

$(a+1)(x)(y)(z)(d+8)$

Третий шаг: Чтобы найти минимальное значение выражения, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a+1+x+y+z+d+8}{6}\ge \sqrt[6]{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}$$

Четвертый шаг: Для минимального значения выражения, равенство в этом неравенстве должно выполняться. Поскольку мы знаем, что произведение положительных чисел $a,b,c,d$ равно определенному значению, мы можем подставить это значение вместо переменной $d$ и далее упростить:

$$\frac{a+1+x+y+z+d+8}{6}=\sqrt[6]{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}$$

$$\frac{a+1+x+y+z+d+8}{6}=\sqrt[6]{(a+1)(x)(y)(z)(d+8)(a+1)(x)(y)(z)(d+8)}$$

$$\frac{a+1+x+y+z+d+8}{6}=\sqrt[6]{(a+1{)}^2(x{)}^2(y{)}^2(z{)}^2(d+8{)}^2}$$

$$\frac{a+1+x+y+z+d+8}{6}=(a+1)(x)(y)(z)(d+8)$$

Пятый шаг: Подставив значения переменных $x=2a+b$, $y=2b+c$, и $z=2c+d$ и учитывая условие произведения положительных чисел, мы можем записать следующее:

$$\frac{a+1+2a+b+2b+c+2c+d+8}{6}=(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$$

Шестой шаг: Для минимального значения выражения, равенство в этом уравнении также должно выполняться. Теперь можем упростить это уравнение, сокращая и объединяя подобные члены:

$$\frac{6a+6b+6c+6d+10}{6}=(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$$

$$a+b+c+d+\frac{5}{3}=(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$$

Вот ответ: минимальное значение выражения $(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)$ при условии, что произведение положительных чисел $a,b,c,d$ равно некоторому значению, будет $a+b+c+d+\frac{5}{3}$.