Какое минимальное значение принимает выражение 3cosx+2sinx?

Капля

11

Хорошо, чтобы найти минимальное значение выражения \(3\cos{x}+2\sin{x}\), будем использовать свойства тригонометрии и некоторые математические преобразования. Давайте начнем:

1. Сначала заметим, что выражение \(3\cos{x}+2\sin{x}\) представляет собой комбинацию косинуса и синуса. Мы также можем переписать его в виде одного тригонометрического выражения, используя формулу сложения тригонометрических функций.

2. Формула сложения \(\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y}\) нам пригодится для преобразования выражения. В данном случае, мы можем записать выражение следующим образом:
\[3\cos{x}+2\sin{x} = A\cos{x} + B\sin{x}\]
где \(A\) и \(B\) – некоторые константы.

3. Используя формулу сложения, мы можем выразить \(\cos{x}\) и \(\sin{x}\) следующим образом:
\[\cos{x}\cos{y} = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos{x} + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin{x}\]
\[-\sin{x}\sin{y} = -\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos{x} + \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin{x}\]

4. Теперь мы можем переписать исходное выражение с использованием формулы сложения:
\[3\cos{x}+2\sin{x} = \sqrt{A^2+B^2}\cos(x+\phi)\]
где \(\phi\) – некоторый угол.

5. Учитывая, что \(\cos(x+\phi)\) принимает значения от -1 до 1, мы видим, что минимальное значение выражения \(3\cos{x}+2\sin{x}\) достигается, когда \(\cos(x+\phi) = -1\).

6. Для того чтобы \(\cos(x+\phi) = -1\), необходимо, чтобы \(x+\phi = \pi\) (или \(\pi + 2\pi n\), где \(n\) – целое число), так как \(\cos{\pi} = -1\).

7. Решая уравнение \(x+\phi = \pi\), мы получаем \(x = \pi - \phi\).

Итак, мы можем заключить, что минимальное значение выражения \(3\cos{x}+2\sin{x}\) достигается, когда угол \(x\) равен \(\pi - \phi\), где \(\phi\) – угол, определенный выражениями \(\cos\phi = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) и \(\sin\phi = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\).

Прошу обратить внимание, что я не могу вычислить конкретное значение \(\phi\) и, следовательно, минимальное значение выражения \(3\cos{x}+2\sin{x}\). Однако, я предоставил вам шаги, которые позволят вам найти это значение, если вам известны значения \(A\) и \(B\).