Какое наибольшее число, состоящее из четырех цифр без нулей, имеет произведение цифр, кратное их сумме?

Солнечный_Зайчик

39

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом:

1. Первое, что мы можем заметить, это ограничение на число из четырех цифр без нулей. Это означает, что каждая цифра в числе должна быть от 1 до 9.

2. Давайте представим наше четырехзначное число в виде \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - это цифры числа, причем \(a\) - это тысячи, \(b\) - сотни, \(c\) - десятки и \(d\) - единицы.

3. Теперь мы должны найти такое число, у которого произведение его цифр кратно их сумме. Давайте составим уравнение для этого. У нас есть следующее:

* Произведение цифр: \(abcd = a \times b \times c \times d\)
* Сумма цифр: \(a + b + c + d\)

Мы также знаем, что произведение должно быть кратно сумме, поэтому мы можем записать это соотношение формулой:

\[abcd \equiv a + b + c + d \pmod{a + b + c + d}\]

4. Чтобы максимизировать наше число, мы должны максимизировать каждую из цифр \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\).

* Чтобы максимизировать \(a\), мы выбираем 9 (так как это максимальное число от 1 до 9).
* Чтобы максимизировать \(b\), \(c\) и \(d\), мы также выбираем 9. Это позволяет нам увеличить произведение без увеличения их суммы.

Таким образом, мы получаем число 9999.

5. Теперь давайте проверим, является ли это число подходящим для нашего условия. Мы можем вычислить произведение и сумму его цифр:

\[\begin{align*}
9999 & = 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 6561 \\
9 + 9 + 9 + 9 & = 36
\end{align*}\]

Мы видим, что произведение равно 6561, а сумма равна 36. Из уравнения, которое мы получили в шаге 3, 6561 должно быть кратно 36.

Давайте проверим это:

\[6561 \equiv 36 \pmod{36}\]

Мы видим, что остаток равен 0, что означает, что 6561 кратно 36.

Итак, наибольшее число, состоящее из четырех цифр без нулей, и имеющее произведение цифр, кратное их сумме, равно 9999.

Я надеюсь, что мой ответ понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.