Какое наибольшее значение принимает функция y=7tgx-4x+pi+12 на интервале [-pi/3;pi/4]?

Dzhek

4

Для начала, давайте рассмотрим, как выглядит функция \(y = 7\tan{x} - 4x + \pi + 12\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\).

В данной функции у нас есть три слагаемых: \(7\tan{x}\), \(-4x\) и \(\pi + 12\). Для нахождения наибольшего значения функции на данном интервале, нам потребуется проанализировать каждое из них отдельно.

1. Рассмотрим первое слагаемое \(7\tan{x}\). Значение \(\tan{x}\) может варьироваться на интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\). Однако, так как мы рассматриваем показательные значения функции на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\), мы можем ограничить значение \(\tan{x}\) на этом интервале. Так, наибольшее значение \(\tan{x}\) достигается при \(x = \frac{\pi}{4}\), и равно \(\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 1\).

2. Рассмотрим второе слагаемое \(-4x\). Значение \(x\) также будет варьироваться на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\). Чтобы найти наибольшее значение \(-4x\) на этом интервале, мы должны найти максимальное значение \(x\). На интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\) максимальное значение \(x\) достигается при \(x = \frac{\pi}{4}\) (таким образом, это значение совпадает с максимальным значением \(\tan{x}\)).

3. Рассмотрим третье слагаемое \(\pi + 12\). Здесь нет переменных, и данное слагаемое остается постоянным на всем интервале.

Теперь, сложив все найденные значения, получим максимальное значение функции.

\(y_{\text{максимальное}} = 7\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)} - 4\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi + 12\)

Вычислим каждое слагаемое:

\(7\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)} = 7\cdot 1 = 7\)

\(-4\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\pi\)

\(\pi + 12 = 12 + \pi\)

Комбинируя все слагаемые, получаем:

\(y_{\text{максимальное}} = 7 - \pi + 12 + \pi = 19\)

Таким образом, наибольшее значение функции \(y = 7\tan{x} - 4x + \pi + 12\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\) равно 19.