Какое наибольшее значение принимает выражение √−2log0,5(5x+1) на отрезке [12,6;51]?

Morskoy_Korabl_4725

33

Для начала разберемся с функциями, которые встречаются в данном выражении.
- Функция \(\log_b(x)\) обозначает логарифм x по основанию b. В данном случае, у нас функция \(\log_{0,5}(5x+1)\), что означает логарифм с основанием 0,5 от выражения \(5x+1\).
- Функция \(\sqrt{x}\) обозначает квадратный корень из x.

Теперь выполним пошаговое решение задачи:

Шаг 1: Найдем значения выражения \(5x+1\) на отрезке [12,6;51].
Подставим x = 12,6:
\(5 \cdot 12,6 + 1 = 63 + 1 = 64\)

Подставим x = 51:
\(5 \cdot 51 + 1 = 255 + 1 = 256\)

На отрезке [12,6;51] выражение \(5x+1\) принимает значения от 64 до 256.

Шаг 2: Подставим найденные значения \((5x+1)\) в функцию \(\log_{0,5}(5x+1)\), чтобы найти значения этой функции на отрезке [64,256].
Вычислим значение функции для \(5x+1 = 64\):
\(\log_{0,5}(64) = \frac{\log_{10}(64)}{\log_{10}(0,5)} \approx \frac{2,806}{-0,301} \approx -9,314\)

Вычислим значение функции для \(5x+1 = 256\):
\(\log_{0,5}(256) = \frac{\log_{10}(256)}{\log_{10}(0,5)} \approx \frac{2,408}{-0,301} \approx -8,004\)

На отрезке [64,256] функция \(\log_{0,5}(5x+1)\) принимает значения от -9,314 до -8,004.

Шаг 3: Теперь найдем значения выражения \(\sqrt{-2 \cdot \log_{0,5}(5x+1)}\) на отрезке [64,256]. Для этого умножим каждое значение функции \(\log_{0,5}(5x+1)\) на -2 и возьмем квадратный корень из полученного результата.
Вычислим значение выражения для \(\log_{0,5}(5x+1) = -9,314\):
\(\sqrt{-2 \cdot -9,314} = \sqrt{18,628} \approx 4,319\)

Вычислим значение выражения для \(\log_{0,5}(5x+1) = -8,004\):
\(\sqrt{-2 \cdot -8,004} = \sqrt{16,008} \approx 4,001\)

На отрезке [64,256] выражение \(\sqrt{-2 \cdot \log_{0,5}(5x+1)}\) принимает значения от 4,001 до 4,319.

Ответ: Наибольшее значение, которое принимает выражение \(\sqrt{-2 \cdot \log_{0,5}(5x+1)}\) на отрезке [12,6;51], равно примерно 4,319.