Какое наименьшее число нужно выбрать для того, чтобы при делении на него чисел 45, 51, 12, 48, и 19 получить различные

Магия_Реки

26

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти такое наименьшее число, которое при делении на числа 45, 51, 12, 48 и 19 даст различные остатки.

Шаг 1: Разложение чисел на множители
Для начала разложим эти числа на простые множители:

$45=3\cdot 3\cdot 5$
$51=3\cdot 17$
$12=2\cdot 2\cdot 3$
$48=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$
$19$ не раскладывается на простые множители, так как оно уже простое число.

Шаг 2: Нахождение общего делителя
Далее определим общий делитель этих чисел. Для этого выберем все простые множители, встречающиеся в разложении каждого числа:

- Простые множители, встречающиеся в числе 45: $3$ и $5$.
- Простые множители, встречающиеся в числе 51: $3$ и $17$.
- Простые множители, встречающиеся в числе 12: $2$ и $3$.
- Простые множители, встречающиеся в числе 48: $2$ и $2$ и $2$ и $2$ и $3$.
- Простые множители числа 19: только число само по себе.

Теперь выберем каждый простой множитель из списка и возьмем максимальную степень, в которой он встречается:

- $3$ встречается в числе 45 и 51, поэтому будем брать его в максимальной степени $3^2$.
- $5$ встречается только в числе 45, поэтому будем брать его в степени $5^1$.
- $2$ встречается в числах 12 и 48, поэтому будем брать его в максимальной степени $2^4$.
- $17$ и $19$ встречаются только в одном числе каждое, поэтому мы берем их в исходных степенях ${17}^1$ и ${19}^1$.

Шаг 3: Умножение полученных степеней
Найденные степени перемножим между собой:

$3^2\cdot 5^1\cdot 2^4\cdot {17}^1\cdot {19}^1=4\cdot 5\cdot 16\cdot 17\cdot 19$

Шаг 4: Вычисление результата
Теперь у нас получилось произведение всех степеней простых множителей, встречающихся в заданных числах. Для нахождения наименьшего числа, при котором остатки от деления на него будут различными, нужно выбрать наименьшие значения для каждого простого множителя. Таким образом, получим:

$4\cdot 5\cdot 16\cdot 17\cdot 19=54,240$

Ответ: Наименьшее число, которое нужно выбрать для того, чтобы при делении на него чисел 45, 51, 12, 48 и 19 получить различные остатки, равно 54,240.