Какое наименьшее число нужно выбрать для того, чтобы при делении на него чисел 45, 51, 12, 48, и 19 получить различные

Магия_Реки

26

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти такое наименьшее число, которое при делении на числа 45, 51, 12, 48 и 19 даст различные остатки.

Шаг 1: Разложение чисел на множители
Для начала разложим эти числа на простые множители:

\(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\)
\(51 = 3 \cdot 17\)
\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)
\(48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
\(19\) не раскладывается на простые множители, так как оно уже простое число.

Шаг 2: Нахождение общего делителя
Далее определим общий делитель этих чисел. Для этого выберем все простые множители, встречающиеся в разложении каждого числа:

- Простые множители, встречающиеся в числе 45: \(3\) и \(5\).
- Простые множители, встречающиеся в числе 51: \(3\) и \(17\).
- Простые множители, встречающиеся в числе 12: \(2\) и \(3\).
- Простые множители, встречающиеся в числе 48: \(2\) и \(2\) и \(2\) и \(2\) и \(3\).
- Простые множители числа 19: только число само по себе.

Теперь выберем каждый простой множитель из списка и возьмем максимальную степень, в которой он встречается:

- \(3\) встречается в числе 45 и 51, поэтому будем брать его в максимальной степени \(3^2\).
- \(5\) встречается только в числе 45, поэтому будем брать его в степени \(5^1\).
- \(2\) встречается в числах 12 и 48, поэтому будем брать его в максимальной степени \(2^4\).
- \(17\) и \(19\) встречаются только в одном числе каждое, поэтому мы берем их в исходных степенях \(17^1\) и \(19^1\).

Шаг 3: Умножение полученных степеней
Найденные степени перемножим между собой:

\(3^2 \cdot 5^1 \cdot 2^4 \cdot 17^1 \cdot 19^1 = 4 \cdot 5 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 19\)

Шаг 4: Вычисление результата
Теперь у нас получилось произведение всех степеней простых множителей, встречающихся в заданных числах. Для нахождения наименьшего числа, при котором остатки от деления на него будут различными, нужно выбрать наименьшие значения для каждого простого множителя. Таким образом, получим:

\(4 \cdot 5 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 19 = 54,240\)

Ответ: Наименьшее число, которое нужно выбрать для того, чтобы при делении на него чисел 45, 51, 12, 48 и 19 получить различные остатки, равно 54,240.