Какое наименьшее натуральное число является четвертью пятой степени и четвертью пятой частью, являющейся четвёртой

Blestyaschiy_Troll

43

Для решения этой задачи, нам необходимо найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет двум условиям: быть четвертью пятой степени и четвертью пятой частью, являющейся четвёртой степенью.

Давайте начнем с первого условия. Чтобы число было четвертью пятой степени, оно должно быть корнем пятого корня из какого-либо числа. Обозначим это число за \(x\). То есть, если мы возведем \(x\) в пятую степень, а затем извлечем из этого результата пятый корень, мы получим \(x\) обратно.

Второе условие говорит о том, что это число должно быть четвертью пятой частью от какого-либо числа, которое является четвертой степенью. Обозначим это число за \(y\). Значит, \(x\) должно быть равно \(\frac{1}{4}\) от четвертой степени числа \(y\). То есть, \(x = \frac{1}{4}y^4\).

Получается, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
\[
x = \sqrt[5]{x^5} \quad \text{(условие 1)}
\]
\[
x = \frac{1}{4}y^4 \quad \text{(условие 2)}
\]

Давайте решим эти уравнения по очереди.

Начнем с условия 1:
\[
x = \sqrt[5]{x^5}
\]

Возведем обе части равенства в пятую степень, чтобы избавиться от пятого корня:
\[
x^5 = (x^5)^5
\]

Теперь у нас есть следующее уравнение:
\[
x^5 = x^{25}
\]

Для того чтобы это уравнение выполнялось, \(x\) должно быть равно 1, так как любое ненулевое число, возведенное в любую степень, не даст такой результат.

Теперь, обратимся ко второму условию:
\[
x = \frac{1}{4}y^4
\]

Подставим \(x = 1\) в это уравнение:
\[
1 = \frac{1}{4}y^4
\]

Умножим обе части на 4:
\[
4 = y^4
\]

Теперь найдем корень из обеих частей равенства:
\[
2 = y
\]

Таким образом, мы получили, что \(x = 1\) и \(y = 2\). Значит, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет обоим условиям, равно 1.

Ответ: Наименьшее натуральное число, которое является четвертью пятой степени и четвертью пятой частью, являющейся четвёртой степенью, равно 1.