Какое наименьшее положительное значение удовлетворяет неравенству sin(x/2)cos(x/2)≥1/4?​

Пугающий_Шаман

10

Для решения данной неравенства, нам понадобится применить некоторые свойства тригонометрических функций и используем следующий прием:

Начнем с раскрытия произведения sin(x/2)cos(x/2). Воспользуемся формулой двойного угла для синуса:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Применим эту формулу, заменив \(2a\) на \(\frac{x}{2}\):
sin(x) = 2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})

Теперь вернемся к исходному неравенству:
2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) ≥ \frac{1}{4}

Заметим, что в правой части неравенства есть константа, поэтому у нас есть два возможных случая для решения этого неравенства:

1) Когда sin(x/2) > 0, в этом случае оставим неравенство таким же:
2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) ≥ \frac{1}{4}

2) Когда sin(x/2) < 0, в этом случае мы поменяем неравенство на противоположное:
2sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) ≤ -\frac{1}{4}

Далее нужно решить каждый из этих случаев и найти наименьшее положительное значение x, удовлетворяющее неравенству.

1) Когда sin(x/2) > 0:

Делим неравенство на 2:
sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) ≥ \frac{1}{8}

Обратите внимание, что мы можем поделить на 2, так как мы предполагаем, что \(\frac{x}{2}\) не равен \(0\) или \(\pi\), чтобы избежать деления на ноль.

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства:
ln [sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})] ≥ ln(\frac{1}{8})

Используем свойство логарифма для произведения:
ln(sin(\frac{x}{2})) + ln(cos(\frac{x}{2})) ≥ ln(\frac{1}{8})

Мы знаем, что \(0 < \frac{1}{8} < 1\), поэтому логарифм от \(\frac{1}{8}\) будет отрицательным числом. Теперь можем написать:
ln(sin(\frac{x}{2})) + ln(cos(\frac{x}{2})) > 0

Следуя этому неравенству, нам нужно найти значения x, для которых сумма логарифмов будет больше нуля. Теперь нужно решить это неравенство. Чтобы упростить его, воспользуемся свойствами логарифмов.

Обратите внимание, что логарифм от значения между 0 и 1 отрицательный, поэтому оба \(sin(\frac{x}{2})\) и \(cos(\frac{x}{2})\) должны быть между 0 и 1.
Другими словами, 0 < \(sin(\frac{x}{2})\) < 1 и 0 < \(cos(\frac{x}{2})\) < 1.

Теперь вспомним, что значения синуса и косинуса являются периодическими функциями с периодом \(2\pi\). Это означает, что мы можем рассматривать значения угла \(x\) только на интервале [0, \(2\pi\)] или [0, \(360^\circ\)] в градусах.

Исходя из этого, мы видим, что ответом будет наименьшее положительное значение \(x\), удовлетворяющее условиям 0 < \(x\), \(x\) < \(2\pi\) и \(x\) < \(360^\circ\).

Поэтому, чтобы найти ответ, нам потребуется решить неравенство \(\sin(\frac{x}{2}) > 0\) на интервале [0, \(2\pi\)] или [0, \(360^\circ\)].

2) Когда sin(x/2) < 0:

В данном случае меняем неравенство на противоположное:
2sin(\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\)) ≤ -\(\frac{1}{4}\)

Здесь также можно разделить обе части неравенства на 2:
sin(\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\)) ≤ -\(\frac{1}{8}\)

Применяя те же самые шаги для решения этого случая, нужно найти значения \(x\), удовлетворяющие условиям \(0 < x\) и \(x < 2\pi\) или \(0 < x\) и \(x < 360^\circ\), и затем проверить, для каких из этих значений выполняется неравенство.

Надеюсь, эти шаги помогут вам решить данную задачу.