Какое наименьшее значение принимает функция y=7x-6sinx+12 на интервале [0;pi/2]?

Николаевич

6

Для решения данной задачи, нужно найти экстремумы функции y на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)]. Первым этапом решения будет нахождение производной функции y по переменной x. Имея производную функции, мы сможем найти значения x, где она равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную функции y:
\[y = 7x - 6\sin(x) + 12\]

Дифференцируя каждый член функции по переменной x, получим:
\[y" = 7 - 6\cos(x)\]

Затем найдем точки, где производная функции равна нулю:
\[7 - 6\cos(x) = 0\]

Решим это уравнение:
\[6\cos(x) = 7\]
\[\cos(x) = \frac{7}{6}\]

Теперь найдем значение x на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)], удовлетворяющее этому условию. Взяв обратный косинус от \(\frac{7}{6}\), получим:
\[x = \cos^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\]

Однако, данное значение не лежит в интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)]. Поэтому, мы можем заключить, что на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)] производная функции не равна нулю, и, следовательно, на этом интервале нет экстремумов.

Таким образом, чтобы определить наименьшее значение функции \(y = 7x - 6\sin(x) + 12\) на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)], мы можем остановиться на граничных точках интервала и точках, в которых производная функции не существует.

Подставив граничные точки интервала в функцию y, получим:
\[y(0) = 7(0) - 6\sin(0) + 12 = 12\]
\[y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 7\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 12 = \frac{7\pi}{2} + 12\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = 7x - 6\sin(x) + 12\) на интервале [0, \(\frac{\pi}{2}\)] равно 12.