Какое наименьшее значение принимает функция y=e^2x-14e^x-2 на интервале [0,2]?

Sverkayuschiy_Pegas_267

14

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = e^{2x} - 14e^x - 2\) на интервале [0,2], мы можем использовать метод дифференцирования и найти точку экстремума функции.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по \(x\). Используя правило дифференцирования для функции вида \(e^u\), получим:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 14e^x - 2) = 2e^{2x} - 14e^x\]

Шаг 2: Чтобы найти точки экстремума, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

\[2e^{2x} - 14e^x = 0\]

Шаг 3: Факторизуем это уравнение:

\[2e^x(e^x - 7) = 0\]

Шаг 4: Теперь мы можем решить это уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:

a) \(2e^x = 0\) не имеет решений, так как экспонента \(e^x\) всегда положительна.

b) \(e^x - 7 = 0\)

Добавим 7 к обоим сторонам:
\[e^x = 7\]

Затем возьмем естественный логарифм от обеих сторон:
\[\ln(e^x) = \ln(7)\]
\[x = \ln(7)\]

Шаг 5: Теперь нам нужно проверить, является ли найденная точка экстремума минимумом или максимумом. Для этого мы можем применить вторую производную тест.

Возьмем вторую производную функции \(y\):
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2e^{2x} - 14e^x) = 4e^{2x} - 14e^x\]

Подставим \(x = \ln(7)\) в выражение для второй производной:
\[\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=\ln(7)} = 4e^{2\ln(7)} - 14e^{\ln(7)}\]
\[= 4 \cdot 7^2 - 14 \cdot 7\]
\[= 196 - 98\]
\[= 98\]

Поскольку вторая производная равна положительному числу (98), это означает, что точка \(x = \ln(7)\) является локальным минимумом функции \(y\).

Шаг 6: Чтобы найти соответствующее наименьшее значение функции \(y\) на интервале [0,2], мы можем подставить \(x = \ln(7)\) в исходное уравнение и вычислить его значение:

\[y = e^{2(\ln(7))} - 14e^{\ln(7)} - 2\]
\[= 7^2 - 14 \cdot 7 - 2\]
\[= 49 - 98 - 2\]
\[= -51\]

Таким образом, наименьшее значение функции \(y\) на интервале [0,2] составляет -51.