Какое натуральное число равно сумме выражений 1/1+√3 + 1/√3+√5 + ··· + 1/√2023+√2025? Только ответ без рассуждений

Plamennyy_Zmey

69

Для нахождения суммы заданных выражений, вычислим каждое слагаемое и сложим их.

Сначала вычислим значение каждого слагаемого:

\(\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2025}}\)

Заметим, что в каждом слагаемом суммы у нас присутствует корень. Мы можем избавиться от корней, умножив числитель и знаменатель каждого слагаемого на разность сопряженных выражений.

Мы знаем, что \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\), где \(a\) и \(b\) - любые выражения. Применим это свойство для наших выражений с корнями:

\(\frac{1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3}\)

Таким образом, первое слагаемое равно \(\frac{1-\sqrt{3}}{-2}\).

Выполним аналогичные преобразования для остальных слагаемых и вычислим их значения:

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{-2}\)

Следующее слагаемое равно \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{-2}\).

Продолжим с остальными слагаемыми.

Суммируя все найденные значения слагаемых, получим:

\(\frac{1-\sqrt{3}}{-2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{-2} + \ldots + \frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{-2}\)

Чтобы сложить эти выражения, произведем общий множитель \((-2)\) для каждого слагаемого:

\(\frac{-1+\sqrt{3}}{2} + \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} + \ldots + \frac{-\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}{2}\)

Теперь сложим числители каждого слагаемого:

\((-1-\sqrt{5}-\sqrt{9}+\ldots-\sqrt{2025})\)

Так как каждый корень равен 1, а нас интересует только сумма, мы можем заменить каждый корень на 1:

\((-1-1-1-\ldots-1)\)

Таким образом, мы имеем \(-2023\).

Итак, сумма заданных выражений равна \(-2023\).