Какова площадь боковой и полной поверхности тела, получающегося путем вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны

Viktoriya

48

Давайте решим задачу. Для начала построим прямоугольную трапецию, чтобы увидеть ее форму и размеры.

Трапеция имеет стороны AB, BC, CD и DA. Угол А равен 90 градусов, а угол Д равен 30 градусов. Высота DN, проведенная из вершины D, составляет 3√2 см, а сторона ВС равна \(a\) см.

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности тела, получаемого вращением трапеции вокруг стороны AB, мы можем использовать формулу

\[P_{\text{бок}} = 2 \pi \times \text{Высота} \times \text{Средняя линия}\]

где \(\pi\) - число пи (приближенное значение: \(\pi \approx 3.14159\)).

Высота этого тела равна высоте трапеции DN, которая составляет 3√2 см.

По определению трапеции, средняя линия равна полусумме оснований. Основания трапеции равны BC и DA, которые имеют длины \(a\) и \(b\) соответственно. Но так как АВ - это гипотенуза прямоугольного треугольника АВС, где угол А равен 90 градусов, то по теореме Пифагора, \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(c\) - гипотенуза.

Таким образом, длина гипотенузы АВ равна

\[AB = \sqrt{BC^2 + DA^2}\]

Чтобы найти полную поверхность тела, мы также должны учесть площадь основания, которая равна площади трапеции ABCD, и две площади оснований, полученных в результате вращения сторон AB и CD.

Площадь трапеции ABCD можно найти с использованием формулы

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{{(AB + CD) \times DN}}{2}\]

Таким образом, полная поверхность тела будет

\[P_{\text{полная}} = S_{\text{трапеции}} + 2 \times P_{\text{бок}}\]

Теперь, используя эти формулы, вычислим площади боковой и полной поверхности тела.