Какое самое маленькое значение принимает выражение 4x + (81/25x) при x

Барбос_2947

59

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было максимально понятно для вас.

Выражение, которое нужно рассмотреть, выглядит так:
\[4x + \frac{81}{25x}\]

Для определения самого маленького значения этого выражения, мы можем воспользоваться методом производных. Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем производную этого выражения.
Для этого нам понадобится знание некоторых правил дифференцирования. Для начала, давайте возьмем производную первого слагаемого 4x. Производная константы (в данном случае 4) равна нулю, поэтому производная первого слагаемого будет равна 4:

\[\frac{d}{dx}(4x) = 4\]

Теперь возьмем производную второго слагаемого \(\frac{81}{25x}\) используя правило дифференцирования для дробных функций. Применим правило деления: сначала найдем производную числителя, а затем производную знаменателя. Производная 81 равна нулю, так как 81 является константой. В то же время, производная \(25x\) равна \(25\), так как правило дифференцирования произведения гласит, что производная константы, умноженной на функцию, равна производной функции, умноженной на константу. Затем применим правило деления:

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{81}{25x}\right) = \frac{0 \cdot 25x - 81 \cdot 25}{(25x)^2}\]

Шаг 2. Упростим эту производную.
Выполним некоторые арифметические вычисления:

\[\frac{0 \cdot 25x - 81 \cdot 25}{(25x)^2} = \frac{-2025}{25x^2}\]

Шаг 3. Найдем критические точки.
Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае, производная равна

\[\frac{-2025}{25x^2}\]

Данная производная равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[-2025 = 0\]

Так как равенство невозможно, у нас нет критических точек.

Шаг 4. Финальные выводы.
Так как у нас нет критических точек, нам необходимо проанализировать границы области значений. Мы предполагаем, что \(x\) - это число, больше нуля.

Когда \(x\) стремится к нулю, второе слагаемое становится бесконечно большим, а первое слагаемое остается равным нулю. Следовательно, выражение не имеет наименьшего значения при \(x > 0\).

Таким образом, мы можем заключить, что выражение \(4x + \frac{81}{25x}\) не имеет наименьшего значения при положительных значениях \(x\).

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как мы пришли к этим выводам. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!