Какое соотношение делит диагональ взятого параллелограмма, отходящего от острого угла его вершины в параллелограмм

Solnce

60

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить несколько свойств параллелограмма и использовать геометрические соотношения.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. В данной задаче мы знаем, что острый угол параллелограмма делит диагональ в пропорции 1:4. Давайте обозначим диагональ параллелограмма как \(AC\) и рассмотрим точку \(D\), в которой острый угол делит диагональ. Также пусть точка \(B\) будет вершиной параллелограмма, противоположной острой вершине.

Теперь, поскольку острый угол делит диагональ в пропорции 1:4, мы можем предположить, что отрезок \(AD\) составляет 1 единицу, а отрезок \(CD\) составляет 4 единицы. Теперь мы должны определить, какое соотношение делит диагональ параллелограмма.

Поскольку \(AC\) - это диагональ параллелограмма, она соединяет две противоположные вершины. Здесь мы имеем острую вершину \(B\) и противоположную ей точку \(D\), поэтому диагональ \(AC\) делит острый угол параллелограмма в пропорции 1:4.

Определение деления отрезка в данной пропорции означает, что отношение длины одной части относительно другой равно данному числу. В данном случае острый угол делит диагональ в пропорции 1:4, поэтому мы можем сказать, что \(\frac{BD}{DC} = 1:4\). То есть отрезок \(BD\) составляет 1 единицу, а отрезок \(DC\) составляет 4 единицы.

Теперь перейдем к следующей части задачи - нахождению наименьшего из углов между диагональю и сторонами параллелограмма. У нас уже есть высота параллелограмма, которая является перпендикуляром, опущенным из острой вершины \(B\) на сторону \(DC\). Обозначим точку пересечения высоты и стороны параллелограмма как \(E\).

Теперь мы знаем, что углы между диагональю и сторонами параллелограмма являются прилежащими к острой вершине \(B\), поскольку они дополняются до 180 градусов с острым углом параллелограмма.

Требуется найти наименьший из этих прилежащих углов. Для этого нам нужно знать отношение сторон параллелограмма. Давайте рассмотрим треугольник \(BDE\).

Треугольник \(BDE\) является прямоугольным треугольником, поскольку \(BE\) - это высота, опущенная на основание \(DC\). Мы знаем, что острый угол параллелограмма составляет 135 градусов, поэтому дополнительный угол параллелограмма, который состоит из угла \(BDE\) и угла между диагональю и стороной, равен \(180° - 135° = 45°\).

Теперь мы можем использовать соотношение сторон прямоугольного треугольника, чтобы найти наименьший из углов между диагональю и стороной параллелограмма. В данном случае, соотношение сторон в прямоугольном треугольнике \(BDE\) будет дано как \(\frac{BD}{DE} = \frac{1}{4}\), так как мы знаем, что \(BD\) составляет 1 единицу, а \(DC\) - 4 единицы.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с противолежащим катетом 1 и прилежащим катетом 4. Теперь мы можем использовать тангенс угла для определения наименьшего из углов между диагональю и стороной.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Применяя это к нашему треугольнику \(BDE\), мы можем записать \(\tan \angle BDE = \frac{BD}{DE} = \frac{1}{4}\).

Теперь, чтобы найти этот угол, мы можем использовать обратную функцию тангенса, которая называется арктангенс. В нашем случае, мы можем записать \(\angle BDE = \arctan (\frac{1}{4})\).

И так, мы получили ответ. Соотношение, которым делит диагональ параллелограмма от острой вершины в параллелограмме, равно 1:4. Наименьший из углов между этой диагональю и сторонами параллелограмма равен \(\arctan (\frac{1}{4})\).