Какое соотношение между площадью поверхности первого и второго шаров, если объем первого шара в 512 раз больше объема

Viktor

36

Давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом будет выразить объемы шаров через их радиусы. Объем шара можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

где \(V\) - объем шара, \(\pi\) - математическая константа \(\approx 3.14159\), а \(r\) - радиус шара.

Мы знаем, что объем первого шара в 512 раз больше объема второго. Обозначим объемы шаров как \(V_1\) и \(V_2\). Тогда у нас есть следующее соотношение:

\[V_1 = 512V_2\]

Для того чтобы найти соотношение площадей поверхностей шаров, нам потребуется выразить площадь поверхности через радиус. Площадь поверхности шара можно вычислить по следующей формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь поверхности шара.

Давайте подставим формулы для площади поверхности и объема в выражение для соотношения объемов:

\[S_1 = 4\pi r_1^2\]
\[S_2 = 4\pi r_2^2\]
\[V_1 = 512V_2\]

Теперь мы можем найти соотношение площадей поверхностей, подставив выражение для радиуса в формулы площади поверхности:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2}\]

Поделим числитель и знаменатель на \(4\pi\):

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\]

Теперь у нас есть выражение для соотношения площадей поверхностей шаров через их радиусы. Однако нам дано соотношение объемов шаров, а не радиусов.

Для того чтобы связать объемы и радиусы, воспользуемся формулой для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Применим эту формулу к обоим шарам:

\[V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3\]
\[V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3\]

Теперь подставим это выражение для объема в соотношение объемов:

\[\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = 512\]

Упростим выражение, сократив общие множители:

\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = 512\]

Возводя обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\), получим:

\[(\frac{r_1}{r_2})^3 = 512\]

Извлекая кубический корень из обеих частей, получим:

\[\frac{r_1}{r_2} = 8\]

Теперь мы знаем соотношение радиусов шаров. Для нахождения соотношения площадей поверхностей подставим это значение в выражение для соотношения площадей:

\[\frac{S_1}{S_2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 = 8^2 = 64\]

Таким образом, площадь поверхности первого шара в 64 раза больше, чем площадь поверхности второго шара.