Какое соотношение справедливо для функции z=xy^2+x? A) ∂z/∂y-2xy=0; B) ∂z/∂y-x=y; C) ∂z/∂y=0; D) ∂z/∂y+y^2=1​

Marat

34

Для решения этой задачи нам потребуется найти производную функции \(z\) по переменной \(y\). После этого мы сможем сравнить полученный результат с вариантами ответов и выбрать соответствующий вариант.

Итак, начнем с нахождения частной производной \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\). Для этого нам нужно продифференцировать каждый член функции \(z\) по переменной \(y\) с учётом правил дифференцирования.

Дифференцируя первый член \(xy^2\) функции \(z\) по переменной \(y\), мы получаем:

\[\frac{{\partial \left(xy^2\right)}}{{\partial y}} = 2xy.\]

Поскольку второй член \(x\) не содержит переменной \(y\), его производная равна нулю:

\[\frac{{\partial x}}{{\partial y}} = 0.\]

Теперь мы можем собрать все полученные производные вместе:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 2xy + 0 = 2xy.\]

Таким образом, производная функции \(z\) по переменной \(y\) равна \(2xy\).

Теперь остается только сравнить полученное соотношение с вариантами ответов и выбрать правильный.

Вариант A) гласит: \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}} - 2xy = 0\).

Мы видим, что соотношение в варианте A) совпадает с полученным нами результатом:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial y}} - 2xy = 2xy - 2xy = 0.\]

Таким образом, правильный ответ на задачу: A) \(\frac{{\partial z}}{{\partial y}} - 2xy = 0\).