Какое трехзначное число нужно найти, если в результате умножения значения суммы цифр из разряда единиц и сотен на цифру

Plamennyy_Zmey

62

Хорошо, давайте решим данную задачу. Пусть трехзначное число, которое мы ищем, имеет вид \(XYZ\), где \(X\), \(Y\) и \(Z\) - это цифры числа.

Из условия задачи, нам дано, что значение суммы цифр из разряда единиц и сотен, то есть \(X + Z\), умноженное на цифру из разряда десятков, то есть \(Y\), равно 117.

Получаем уравнение:

\((X + Z) \cdot Y = 117 \quad \text{(1)}\)

Также условие задачи говорит нам, что если мы поменяем первую и последнюю цифры этого числа, то полученное число будет на 297 больше исходного.

Изменение порядка цифр даст нам трехзначное число \(ZXY\), и согласно условию, это число будет на 297 больше исходного.

Получаем уравнение:

\(100 \cdot Z + 10 \cdot X + Y = 100 \cdot X + 10 \cdot Y + Z + 297\)

После упрощения, получаем:

\(99 \cdot Z + 9 \cdot X = 297\) \quad \text{(2)}

В настоящее время у нас есть два уравнения: уравнение (1) и уравнение (2). Решим их одно за другим.

Из уравнения (1) мы можем выразить \(X + Z\) через \(Y\):

\(X + Z = \frac{117}{Y}\)

Подставим это значение в уравнение (2):

\(99 \cdot Z + 9 \cdot X = 297\)

\(99 \cdot Z + 9 \cdot \frac{117}{Y} = 297\) \quad \text{(3)}

Уравнение (3) содержит только одну переменную \(Y\), поэтому мы можем его решить.

Умножим обе части уравнения на \(Y\):

\(99 \cdot Y \cdot Z + 9 \cdot 117 = 297 \cdot Y\)

Раскроем скобки:

\(99 \cdot Y \cdot Z + 1053 = 297 \cdot Y\)

Перенесем все члены, содержащие \(Y\), на одну сторону уравнения:

\(99 \cdot Y \cdot Z - 297 \cdot Y = -1053\)

Факторизуем \(Y\) и выносим его за скобки:

\(Y \cdot (99 \cdot Z - 297) = -1053\)

Теперь мы можем найти \(Y\):

\(Y = \frac{-1053}{99 \cdot Z - 297}\)

У нас есть выражение для \(Y\), а затем мы можем использовать его, чтобы найти \(X\) и \(Z\).

Подставляем найденное значение \(Y\) в уравнение (1):

\((X + Z) \cdot \frac{-1053}{99 \cdot Z - 297} = 117\)

Упрощаем уравнение:

\(-1053(X + Z) = 117(99 \cdot Z - 297)\)

Раскроем скобки:

\(-1053X - 1053Z = 117 \cdot 99Z - 117 \cdot 297\)

Получим:

\(-1053X - 1053Z = 11683Z - 34749\)

Соберем все члены с \(X\) и \(Z\) на одной стороне уравнения:

\(-1053X - 11683Z = -34749\)

Факторизуем коэффициенты при \(X\) и \(Z\):

\(-11683Z - 1053X = -34749\)

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

\(\begin{cases}
99 \cdot Z - 297 = Y \\
-11683Z - 1053X = -34749
\end{cases}\)

Решим эту систему уравнений.