Какое уравнение эллипса можно составить, если известно, что две вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы

Магический_Самурай_3103

27

Чтобы составить уравнение эллипса, нам понадобится информация о его вершинах и фокусах. Дано, что две вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0), а фокусы находятся в точках (-3;0) и (3;0).

Первым шагом, давайте определим расстояние между фокусами. Известно, что фокусное расстояние (\(2c\)) - это расстояние между фокусами эллипса. В данном случае, фокусное расстояние равно 6, так как расстояние между фокусами (-3;0) и (3;0) равно 6.

Теперь с помощью фокусного расстояния (\(2c\)) мы можем найти полуось c эллипса, используя формулу \(c = \frac{1}{2} \cdot 2c\). В нашем случае, \(c = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Также, у нас есть информация о вершинах эллипса. Известно, что вершины находятся в точках (-5;0) и (5;0). Полуось a эллипса равна расстоянию от центра до вершины. Значит, \(a = 5 - (-5) = 10\).

Теперь, чтобы найти уравнение эллипса, мы можем использовать стандартную формулу уравнения эллипса:

\(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\),

где (h,k) - координаты центра эллипса, \(a\) - полуось a, и \(b\) - полуось b.

В данном случае, для простоты мы можем заметить, что эллипс симметричен относительно оси \(y\). Это означает, что полуось \(b\) будет равна \(b = c = 3\).

Так как центр эллипса находится в середине между вершинами, его координаты будут (0;0). Теперь у нас есть все необходимые данные для составления уравнения эллипса:

\(\frac{{(x - 0)^2}}{{10^2}} + \frac{{(y - 0)^2}}{{3^2}} = 1\).

Упростив данное уравнение, мы получим итоговый ответ:

\(\frac{{x^2}}{{100}} + \frac{{y^2}}{{9}} = 1\).

Итак, уравнение эллипса, удовлетворяющее данным условиям, будет \(\frac{{x^2}}{{100}} + \frac{{y^2}}{{9}} = 1\).