Какое уравнение нужно решить, когда квадрат разности между x и 4 и квадрат суммы x и 9 равняются квадрату

Mishutka

63

У нас есть задача, в которой нужно найти уравнение, которое удовлетворяет условию: квадрат разности между \(x\) и 4 и квадрат суммы \(x\) и 9 равны квадрату \(x\). Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Пусть уравнение, которое мы ищем, будет обозначено как \(У\). Исходя из условия задачи, у нас есть два квадрата: \((x-4)^2\) и \((x+9)^2\), и они равны квадрату \(x\). Мы можем записать это в виде уравнения:

\[(x-4)^2 + (x+9)^2 = x^2\]

Или, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

\[x^2 - 8x + 16 + x^2 + 18x + 81 = x^2\]

Теперь у нас есть квадратичное уравнение, которое нужно решить. Давайте произведем сокращения и приведем его к удобному виду:

\[2x^2 + 10x + 97 = x^2\]

Теперь переместим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[2x^2 + 10x - x^2 - 97 = 0\]

Упростим это уравнение:

\[x^2 + 10x - 97 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 10\) и \(c = -97\).

Чтобы найти решение этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-97) = 100 + 388 = 488\]

Теперь, зная значение дискриминанта, мы можем использовать его для нахождения корней уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(D\) в эту формулу:

\[x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{488}}{2 \cdot 1}\]

Теперь найдем значения корней \(x_{1}\) и \(x_{2}\):

\[x_{1} = \frac{-10 + \sqrt{488}}{2} \quad \text{или} \quad x_{2} = \frac{-10 - \sqrt{488}}{2}\]

Таким образом, получаем два значения для \(x\):

\[x_{1} \approx 4.53 \quad \text{и} \quad x_{2} \approx -14.53\]

Итак, уравнение, которое нужно решить, это:

\[x^2 + 10x - 97 = 0\]

и его решения - приближенные значения \(x_{1} \approx 4.53\) и \(x_{2} \approx -14.53\).