Какое уравнение описывает сферу, если центр сферы является началом координат, а плоскость 16x-15y-12z + 75 = 0 является

Лунный_Свет_6720

24

Для решения этой задачи нам понадобится знание уравнения сферы и уравнения плоскости.

Уравнение сферы с центром в начале координат имеет вид:

\[x^2 + y^2 + z^2 = r^2\]

где \(r\) - радиус сферы.

Плоскость задается уравнением вида:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

где \(A, B, C\) - коэффициенты плоскости, а \(D\) - свободный параметр.

Мы знаем, что данная плоскость является касательной к сфере, а это означает, что они касаются только в одной точке. Так как центр сферы является началом координат, то эта точка касания будет иметь координаты (0, 0, 0).

Теперь нам нужно найти радиус сферы \(r\). Для этого мы можем воспользоваться нормалью касательной плоскости, так как она будет проходить через центр сферы. Нормаль задается коэффициентами плоскости \(A, B, C\), поэтому нормаль будет иметь вид (16, -15, -12).

Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы, поэтому мы можем воспользоваться формулой:

\[r = \frac{{\left|Ax + By + Cz + D\right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{\left|16 \cdot 0 + (-15) \cdot 0 + (-12) \cdot 0 + 75\right|}}{{\sqrt{{16^2 + (-15)^2 + (-12)^2}}}} = \frac{{75}}{{\sqrt{{256 + 225 + 144}}}} = \frac{{75}}{{\sqrt{{625}}}} = \frac{{75}}{{25}} = 3\]

Итак, уравнение сферы с центром в начале координат и касательной плоскостью \(16x - 15y - 12z + 75 = 0\) будет выглядеть следующим образом:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 3^2\]

Или сокращенно:

\[x^2 + y^2 + z^2 = 9\]

Таким образом, уравнение описывающее данную сферу - \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\).