Какое уравнение определяет геометрическое место точек на плоскости OXY, которые находятся на равном расстоянии от точек
Какое уравнение определяет геометрическое место точек на плоскости OXY, которые находятся на равном расстоянии от точек А(-7;5) и В(-5;3)?
Igorevich_1727 38
Чтобы определить уравнение геометрического места точек на плоскости, которые находятся на равном расстоянии от двух заданных точек, нужно вспомнить определение окружности.Окружность - это геометрическое место точек, которые находятся на равном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Зная координаты центра и радиус окружности, мы можем записать уравнение окружности.
Для решения данной задачи найдем сначала координаты центра окружности, а затем рассчитаем радиус.
Координаты центра окружности можно найти как середину отрезка между точками А(-7;5) и В(-5;3). Для этого необходимо найти среднее арифметическое от координат \(x\) и \(y\):
\[x_{\text{центра}} = \frac{x_1 + x_2}{2},\]
\[y_{\text{центра}} = \frac{y_1 + y_2}{2}.\]
Подставим значения координат точек:
\[x_{\text{центра}} = \frac{-7 + (-5)}{2} = \frac{-12}{2} = -6,\]
\[y_{\text{центра}} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4.\]
Теперь найдем радиус окружности, который равен расстоянию от центра до любой точки на окружности. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},\]
где \((x_1, y_1)\) - координаты центра окружности, \((x_2, y_2)\) - координаты любой точки на окружности.
Подставим значения:
\[d = \sqrt{(-5 - (-7))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}.\]
Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{8}\).
Итак, у нас есть координаты центра (-6, 4) и радиус \(\sqrt{8}\). Теперь мы можем записать уравнение окружности в общем виде:
\((x - x_{\text{центра}})^2 + (y - y_{\text{центра}})^2 = r^2\),
где \(r\) - радиус окружности.
Подставим известные значения:
\((x - (-6))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{8})^2\).
Упростим:
\((x + 6)^2 + (y - 4)^2 = 8\).
Таким образом, уравнение геометрического места точек на плоскости, находящихся на равном расстоянии от точек А(-7;5) и В(-5;3), записывается как \((x + 6)^2 + (y - 4)^2 = 8\).