Какое уравнение прямой должно быть составлено, если она параллельна прямой y = −6x − 1 и проходит через центр

Kiska

19

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы ищем уравнение прямой, которая параллельна прямой \(y = -6x - 1\) и проходит через центр окружности \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0\).

Шаг 1: Найдем центр окружности.
Уравнение окружности дано в общем виде \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0\). Чтобы найти центр окружности, нам нужно переписать это уравнение в канонической форме \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Раскроем скобки и переупорядочим уравнение:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + 5 = 0\]
\[(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 5 = 0\]
\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 5 = 4 + 9\]
\[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 18\]
Из этого мы видим, что центр окружности находится в точке \(C(2, -3)\) и ее радиус равен \(\sqrt{18}\).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, параллельной данной.
Уравнение прямой \(y = -6x - 1\) имеет наклон \(m = -6\), потому что оно записано в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - наклон прямой, а \(c\) - y-пересечение.

Поскольку мы ищем прямую, параллельную этой, наклон новой прямой также будет равен -6.

Шаг 3: Найдем уравнение искомой прямой.
У нас есть наклон (-6) и точка, через которую проходит прямая (центр окружности C(2, -3)).

Используя формулу наклона прямой и точку, можем записать уравнение искомой прямой:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
где \(m\) - наклон прямой, \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки, через которую проходит прямая.

Заменим значения наших известных величин:
\[y - (-3) = -6(x - 2)\]
\[y + 3 = -6x + 12\]
\[y = -6x + 9\]

Итак, уравнение прямой, параллельной \(y = -6x - 1\) и проходящей через центр окружности, будет \(y = -6x + 9\).

Надеюсь, что объяснение было достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обратитесь за помощью.