Какое уравнение прямой должно быть составлено, если она параллельна прямой y = −6x − 1 и проходит через центр

Kiska

19

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы ищем уравнение прямой, которая параллельна прямой $y=-6x-1$ и проходит через центр окружности $x^2+y^2-4x+6y+5=0$.

Шаг 1: Найдем центр окружности.
Уравнение окружности дано в общем виде $x^2+y^2-4x+6y+5=0$. Чтобы найти центр окружности, нам нужно переписать это уравнение в канонической форме $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$, где $(a,b)$ - координаты центра окружности, а $r$ - радиус окружности.

Раскроем скобки и переупорядочим уравнение:
$$x^2-4x+y^2+6y+5=0$$
$$(x^2-4x)+(y^2+6y)+5=0$$
$$(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+5=4+9$$
$$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=18$$
Из этого мы видим, что центр окружности находится в точке $C(2,-3)$ и ее радиус равен $\sqrt{18}$.

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, параллельной данной.
Уравнение прямой $y=-6x-1$ имеет наклон $m=-6$, потому что оно записано в виде $y=mx+c$, где $m$ - наклон прямой, а $c$ - y-пересечение.

Поскольку мы ищем прямую, параллельную этой, наклон новой прямой также будет равен -6.

Шаг 3: Найдем уравнение искомой прямой.
У нас есть наклон (-6) и точка, через которую проходит прямая (центр окружности C(2, -3)).

Используя формулу наклона прямой и точку, можем записать уравнение искомой прямой:
$$y-y_1=m(x-x_1)$$
где $m$ - наклон прямой, $x_1$ и $y_1$ - координаты точки, через которую проходит прямая.

Заменим значения наших известных величин:
$$y-(-3)=-6(x-2)$$
$$y+3=-6x+12$$
$$y=-6x+9$$

Итак, уравнение прямой, параллельной $y=-6x-1$ и проходящей через центр окружности, будет $y=-6x+9$.

Надеюсь, что объяснение было достаточно подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, обратитесь за помощью.