Какое уравнение задает директрису параболы с уравнением 3y^2-2y-10x+10=0?

Siren

22

Чтобы найти уравнение директрисы параболы с заданным уравнением 3y^2-2y-10x+10=0, мы можем использовать определение директрисы параболы. Директрисой параболы является прямая, расположенная противоположно фокусу и перпендикулярно оси симметрии параболы.

Шаг 1: Найдем координаты вершины параболы.
Для этого рассмотрим уравнение параболы 3y^2-2y-10x+10=0. Уравнение параболы можно преобразовать к каноническому виду, делая полный квадрат относительно переменной y.

3y^2-2y-10x+10=0 | Разделим все уравнение на 3:
y^2 - (2/3)y - (10/3)x + (10/3) = 0

Чтобы превратить это в квадратное уравнение относительно (y - k), где k - y-координата вершины параболы, выполним следующие шаги:

y^2 - (2/3)y - (10/3)x + (10/3) = 0 | Добавим и вычтем (10/9):
y^2 - (2/3)y + (10/9) - (10/3)x + (10/3) - (10/9) = 0

Преобразуем:

(y^2 - (2/3)y + (10/9)) - (10/3)x + (10/3) - (10/9) = 0

Раскроем скобки:

(y - 1/3)^2 - (30/9)x + (30/9) - (10/9) = 0
(y - 1/3)^2 - (30/9)x + (20/9) = 0

Теперь мы можем записать уравнение параболы в каноническом виде:

(y - 1/3)^2 = (30/9)x - (20/9)

Из этого уравнения видно, что вершина параболы имеет координаты (0, 1/3).

Шаг 2: Найдем фокус параболы.
В параболе с уравнением (y - k)^2 = 4a(x - h), фокусная дистанция равна a, где (h, k) - координаты вершины параболы.

4a = (30/9) | Разделим обе части на 4:
a = (30/9)/4
a = (30/9)*(1/4)
a = 30/36
a = 5/6

Значит, фокус параболы находится на расстоянии 5/6 единиц от вершины параболы вдоль оси симметрии. Чтобы найти положение фокуса, мы должны проследить за знаком при a в уравнении. Здесь a положительная, поэтому фокус будет выше вершины параболы.

Относительно оси y, фокус будет иметь координату (0, 1/3 + 5/6) = (0, 3/6 + 5/6) = (0, 8/6) = (0, 4/3).

Шаг 3: Найдем уравнение директрисы параболы.
Директриса параболы - это прямая, проходящая перпендикулярно оси симметрии и находящаяся на расстоянии a от вершины параболы.

Так как ось симметрии параболы параллельна оси x, то ось симметрии параболы задается уравнением x = const, где const - x-координата вершины параболы (равная 0).

Так как ось симметрии и директриса параболы пересекаются в фокусе, уравнение директрисы параболы будет задано уравнением x = -a.

Подставим значение a:

x = -5/6

Таким образом, уравнение директрисы параболы с уравнением 3y^2-2y-10x+10=0 задается уравнением x = -5/6.

Итак, уравнение директрисы параболы - x = -5/6.