Какое значение нужно выбрать для разности прогрессии, чтобы получить наименьшее произведение третьего и пятого членов

Artemovna

56

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Мы хотим найти произведение третьего и пятого членов прогрессии, то есть \(a_3 \cdot a_5\). Заменим значения \(a_3\) и \(a_5\) в формуле:

\[a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + 4d)\]

Наша задача - найти такое значение разности прогрессии \(d\), при котором произведение \(a_3 \cdot a_5\) будет минимальным.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Чтобы найти значение, при котором произведение будет минимальным, мы должны найти экстремум функции \(a_3 \cdot a_5\) в зависимости от переменной \(d\).

Для этого возьмем производную \(a_3 \cdot a_5\) по переменной \(d\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{d}}{{dd}}(a_3 \cdot a_5) = 0\]

Дифференцируем произведение членов прогрессии по переменной \(d\) и приравниваем к нулю:

\[(2a_1 + 6d)(a_1 + 4d) + (a_1 + 2d)(4a_1 + 20d) = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(2a_1^2 + 16a_1d + 6a_1d + 24d^2 + 4a_1^2 + 8a_1d + 20d^2 = 0\)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\(6a_1d + 8a_1d + 16a_1d + 20d^2 + 24d^2 + 2a_1^2 + 4a_1^2 = 0\)

Упростим выражение:

\(30a_1d + 44d^2 + 6a_1^2 = 0\)

Теперь решим получившееся квадратное уравнение относительно переменной \(d\):

\(44d^2 + 30a_1d + 6a_1^2 = 0\)

Вынесем общий множитель:

\(2d(22d + 15a_1) + 3a_1^2 = 0\)

Это уравнение позволяет нам найти значение разности прогрессии \(d\), при котором произведение \(a_3 \cdot a_5\) будет минимальным. Найдем корни уравнения \(22d + 15a_1 = 0\):

\[d = -\frac{{15a_1}}{{22}}\]

Таким образом, чтобы получить наименьшее произведение третьего и пятого членов прогрессии, необходимо выбрать значение разности прогрессии \(d = -\frac{{15a_1}}{{22}}\), где \(a_1\) - значение первого члена прогрессии.