Какое выражение надо возвести в куб, чтобы получить результат, равный 36x^2y + 27y^3?

Екатерина

55

Для решения данной задачи нам потребуется использовать бином Ньютона. Формула бинома Ньютона позволяет разложить выражение \((a + b)^n\) в сумму \(n+1\) слагаемых, где каждое слагаемое имеет вид \({n \choose k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k\), где \({n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

Давайте применим эту формулу к нашей задаче. У нас дано выражение \(36x^2y + 27y^3\), и мы хотим найти такое выражение \((ax + by)^3\). Мы знаем, что в итоговой сумме коэффициент при \(x^2y\) должен быть равен 36, а коэффициент при \(y^3\) - 27.

Для начала, разложим \((ax + by)^3\) по формуле бинома Ньютона:

\[(ax + by)^3 = {3 \choose 0} \cdot (ax)^3 \cdot (by)^0 + {3 \choose 1} \cdot (ax)^2 \cdot (by)^1 + {3 \choose 2} \cdot (ax)^1 \cdot (by)^2 + {3 \choose 3} \cdot (ax)^0 \cdot (by)^3\]

После раскрытия скобок получаем:

\[{3 \choose 0} \cdot a^3 \cdot x^3 \cdot b^0 \cdot y^0 + {3 \choose 1} \cdot a^2 \cdot x^2 \cdot b^1 \cdot y^1 + {3 \choose 2} \cdot a^1 \cdot x^1 \cdot b^2 \cdot y^2 + {3 \choose 3} \cdot a^0 \cdot x^0 \cdot b^3 \cdot y^3\]

Применяем сочетания:

\[1 \cdot a^3 \cdot x^3 + 3 \cdot a^2 \cdot x^2 \cdot b \cdot y + 3 \cdot a \cdot x \cdot b^2 \cdot y^2 + 1 \cdot b^3 \cdot y^3\]

Сравниваем полученное разложение с изначальным выражением \(36x^2y + 27y^3\) и находим соответствующие коэффициенты:

\[a^3 \cdot x^3 = 36x^2y\]
\[3 \cdot a^2 \cdot x^2 \cdot b \cdot y = 36x^2y\]
\[3 \cdot a \cdot x \cdot b^2 \cdot y^2 = 0\]
\[b^3 \cdot y^3 = 27y^3\]

Если сравнить эти уравнения, то можно заметить, что первые два уравнения уже совпадают с изначальным выражением \(36x^2y + 27y^3\). Значит, мы можем сделать вывод, что исходное выражение можно возвести в куб, подставив \(a = 6x\) и \(b = 3y\):

\[(6x + 3y)^3 = 36x^2y + 27y^3\]

Таким образом, выражение, которое нужно возвести в куб, чтобы получить результат, равный \(36x^2y + 27y^3\), является \((6x + 3y)^3\).