Какое взаимное положение имеют прямые x-2/4 = y=1/-3 = z-1/-2 и x-7/5 = y-1/6 = z-3/1? 1) Прямые пересекаются

Валентиновна

32

Для определения взаимного положения прямых, необходимо проанализировать их уравнения и выразить их в уравнениях прямых в пространстве. Имеем уравнения:
\[x - \frac{2}{4} = y + \frac{1}{-3} = z + \frac{1}{-2}\]
\[x - \frac{7}{5} = y - \frac{1}{6} = z - \frac{3}{1}\]
Для начала, найдем направляющие векторы для каждой прямой. Направляющий вектор определяется коэффициентами при \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении прямой.
Для первой прямой:
Направляющий вектор \(\vec{s_1} = (1, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2})\)

Для второй прямой:
Направляющий вектор \(\vec{s_2} = (1, \frac{1}{6}, 3)\)

Затем найдем точку на каждой прямой. Точка на прямой может быть найдена, заменяя одну из переменных в уравнении прямой.
Для первой прямой:
\(x = \frac{2}{4}\)
\(y = -\frac{1}{3}\)
\(z = -\frac{1}{2}\)
точка \(P_1\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}\right)\)

Для второй прямой:
\(x = \frac{7}{5}\)
\(y = \frac{1}{6}\)
\(z = 3\)
точка \(P_2\left(\frac{7}{5}, \frac{1}{6}, 3\right)\)

Итак, у нас есть направляющие векторы \(\vec{s_1}\) и \(\vec{s_2}\), а также точки \(P_1\) и \(P_2\) на прямых.

Теперь рассмотрим три возможных случая взаимного положения прямых:
1) Прямые пересекаются - это происходит, когда направляющие векторы прямых не коллинеарны (не лежат на одной прямой), и нет прямой, проходящей одновременно через обе точки \(P_1\) и \(P_2\). Это условие равносильно определителю матрицы, составленной из направляющих векторов \(\vec{s_1}\) и \(\vec{s_2}\). Если определитель не равен нулю, то прямые пересекаются. В нашем случае:
\[\det\begin{pmatrix}1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{2}\\1 & \frac{1}{6} & 3\end{pmatrix} = -\frac{5}{6}.\]
Так как определитель не равен нулю, то прямые не пересекаются.

2) Прямые скрещиваются - это происходит, когда направляющие векторы прямых не коллинеарны и есть прямая, проходящая одновременно через обе точки \(P_1\) и \(P_2\). В нашем случае, так как прямые не пересекаются, они не могут скрещиваться.

3) Прямые параллельны - это происходит, когда направляющие векторы прямых коллинеарны. В нашем случае это можно проверить, посмотрев, равны ли соответствующие коэффициенты пропорциональными числами. Возьмем два любых коэффициента (например, из \(x\)-координаты и \(y\)-координаты) и проверим их отношение:
\[\frac{1}{1} = -\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = -2.\]
Отношение равно -2, что говорит о том, что направляющие векторы коллинеарны, а значит, прямые параллельны.

4) Прямые перпендикулярны - это происходит, когда скалярное произведение направляющих векторов прямых равно нулю. Возьмем скалярное произведение направляющих векторов \(\vec{s_1}\) и \(\vec{s_2}\):
\[\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 1 \cdot 1 + \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6} + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 3 = 1 - \frac{1}{18} - \frac{3}{2} = -\frac{17}{18}.\]
Так как скалярное произведение не равно нулю, то прямые не перпендикулярны.

Итак, исходя из анализа, мы приходим к выводу, что прямые, заданные уравнениями \(x - \frac{2}{4} = y + \frac{1}{-3} = z + \frac{1}{-2}\) и \(x - \frac{7}{5} = y - \frac{1}{6} = z - \frac{3}{1}\), являются параллельными. Ответ: 3) Прямые параллельны.