Какое является максимальным значением функции y=x^3-2x^2-20x-19 на данном интервале?

Plyushka

14

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = x^3 - 2x^2 - 20x - 19\) на данном интервале, нам нужно сначала найти точки, в которых производная функции равна нулю, а затем проверить значения функции на этих точках и на концах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = x^3 - 2x^2 - 20x - 19\).
Для этого используем правила дифференцирования. Правило для дифференцирования мономов гласит, что производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).
Применяя это правило к каждому члену функции, получаем:
\[y" = 3x^2 - 4x - 20\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю.
Решим уравнение \(3x^2 - 4x - 20 = 0\) для нахождения корней.
Используя факторизацию, делим каждый член на наибольший общий делитель, который в этом случае равен 1:
\((x - 5)(3x + 4) = 0\)

Получаем два корня: \(x - 5 = 0\) или \(3x + 4 = 0\).
Решая оба уравнения, находим \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -\frac{4}{3}\).

Шаг 3: Проверим значения функции на найденных точках и на концах интервала.
Вычислим значения функции \(y = x^3 - 2x^2 - 20x - 19\) при каждом из найденных значений \(x\): \(y_1 = (5)^3 - 2(5)^2 - 20(5) - 19\) и \(y_2 = (-\frac{4}{3})^3 - 2(-\frac{4}{3})^2 - 20(-\frac{4}{3}) - 19\).

Для удобства вычислений используем калькулятор или компьютер.
Получаем \(y_1 = 16\) и \(y_2 \approx -24.37\).

Теперь нам нужно сравнить найденные значения функции и выбрать максимальное.
Сравнивая значения, находим, что максимальное значение функции на данном интервале равно 16.

Таким образом, максимальное значение функции \(y = x^3 - 2x^2 - 20x - 19\) на данном интервале достигается при \(x = 5\) и равно 16.