Какое значение должна иметь переменная k, чтобы разность дробей 1k−4 и 5k+4 равнялась их произведению?

Алексеевна_794

1

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

Мы задаем значение переменной k и исследуем, при каком значении разность дробей \(1k - 4\) и \(5k + 4\) будет равняться их произведению.

Шаг 1: Запишем выражение для разности дробей и выражение для их произведения.

Разность дробей: \(1k - 4\)
Произведение дробей: \( (1k - 4) \cdot (5k + 4) \)

Шаг 2: Раскроем скобки в выражении для произведения двух дробей.

\((1k - 4) \cdot (5k + 4) = 5k^2 - 4k + 20k - 16\)
\((1k - 4) \cdot (5k + 4) = 5k^2 + 16k - 16\)

Шаг 3: Теперь мы хотим, чтобы разность дробей равнялась их произведению, так что мы приравниваем выражения.

\(1k - 4 = 5k^2 + 16k - 16\)

Шаг 4: Перегруппируем выражение, чтобы получить квадратное уравнение.

\(5k^2 + 16k - 16 - 1k + 4 = 0\)
\(5k^2 + 15k - 12 = 0\)

Шаг 5: Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня. Давайте воспользуемся факторизацией.

У нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Нам нужно найти два числа, которые перемножаются, чтобы дать \(ac\) и складываются, чтобы дать \(b\).

В нашем случае, \(a=5\), \(b=15\), и \(c=-12\).

Давайте найдем два числа, которые подходят к нашим условиям. Разложим \(ac\) и находим два числа, у которых произведение равно \(ac\) и сумма равна \(b\).

Для нас \(ac = 5 \cdot (-12) = -60\).

Мы можем выбрать числа -20 и 3, так как их произведение равно -60 и их сумма равна 15.

Используем эти числа для разложения линейного члена \(15k = -20k + 3k\).

Перепишем уравнение:

\(5k^2 - 20k + 3k - 12 = 0\)

Шаг 6: Группируем члены и факторизуем.

\(k(5k - 4) + 3(5k - 4) = 0\)

Мы можем видеть, что у нас есть общий множитель \((5k - 4)\), так что мы можем вынести его за скобки.

\((5k - 4)(k +3) = 0\)

Шаг 7: Решаем уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю.

\(5k - 4 = 0\) или \(k + 3 = 0\)

Решая эти два уравнения, мы находим два значения для переменной k:

\(k_1 = \frac{4}{5}\) или \(k_2 = -3\)

Таким образом, значение переменной k должно быть либо \(\frac{4}{5}\) либо \(-3\), чтобы разность дробей \(1k-4\) и \(5k+4\) равнялась их произведению.