Какое значение функции достигает максимума на отрезке [76, 92] уравнения Y = -2/3 x^3/2 + 9x

Летающий_Космонавт

40

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем производную функции Y = -2/3 x^(3/2) + 9x. Для этого возьмем производную каждого члена уравнения по отдельности, используя правила дифференцирования.

Производная первого члена -2/3 x^(3/2) равна:
\[Y" = \frac{d}{dx}(-2/3 x^{3/2})\]
\[Y" = -\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^{3/2})\]

Применяя правило дифференцирования степенной функции, получим:
\[Y" = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1}\]
\[Y" = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2}\]
\[Y" = -x^{1/2}\]

Производная второго члена 9x равна:
\[Y" = \frac{d}{dx}(9x)\]
\[Y" = 9\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки могут быть точками экстремума или разрывов функции.

Из уравнения производной -x^(1/2) = 0 получаем:
\[x^{1/2} = 0\]

Чтобы найти x, возведем обе части уравнения в квадрат:
\[x = 0^2\]
\[x = 0\]

Из уравнения производной 9 = 0 мы видим, что это невозможно, поэтому нет других точек, в которых производная равна нулю или не существует.

Шаг 3: Найдем значения функции Y на концах отрезка [76, 92]. Подставим значения x = 76 и x = 92 в исходную функцию Y = -2/3 x^(3/2) + 9x.

Для x = 76:
\[Y = -2/3 \cdot 76^{3/2} + 9 \cdot 76\]

Для x = 92:
\[Y = -2/3 \cdot 92^{3/2} + 9 \cdot 92\]

Шаг 4: Чтобы определить, на какой точке функции Y достигается максимум на отрезке [76, 92], сравним значения функции на концах отрезка [76, 92] и значения функции в точках, где производная равна нулю или не существует.

Сравним значения функции Y на концах отрезка [76, 92] и подставим значения функции в точках, где производная равна нулю или не существует.

Шаг 5: Подставим значения x = 76 и x = 92 в функцию Y, чтобы определить значения функции на концах отрезка.

Для x = 76:
\[Y = -2/3 \cdot 76^{3/2} + 9 \cdot 76\]

Для x = 92:
\[Y = -2/3 \cdot 92^{3/2} + 9 \cdot 92\]

После вычислений найдем значения функции на концах отрезка. Если значение функции Y в точке с производной равной нулю или не существует больше, чем значения функции на концах отрезка, значит, максимум функции достигается в этой точке.

Шаг 6: Подставим значения x = 76 и x = 92 в функцию Y, чтобы определить значения функции на концах отрезка.

Для x = 76:
\[Y = -2/3 \cdot 76^{3/2} + 9 \cdot 76\]

Для x = 92:
\[Y = -2/3 \cdot 92^{3/2} + 9 \cdot 92\]

После подстановки значений x в функцию, получим численные значения Y. Сравним эти значения и значения полученные на шаге 5.

Этот шаг покажет нам, на каком x-значении функция Y достигает максимума на отрезке [76, 92]. Сравнивая значения функции на концах отрезка и значения функции в точках, где производная равна нулю или не существует, мы сможем определить значение функции, при котором максимум достигается.

Пожалуйста, сделайте подстановку значений x = 76 и x = 92 в функцию Y и найдите соответствующие значения функции. Сравните эти значения и определите, где максимум достигается на отрезке [76, 92].