Какое значение функции y=x√ достигает наибольшего значения на отрезке [1; 4]? Ответ: значение yнаибольшего

Yabeda

34

Наибольшее значение функции \(y = x\sqrt{x}\) на отрезке \([1, 4]\) можно найти, используя метод нахождения экстремумов функции.

Шаг 1: Определение критических точек.
Для начала, найдем точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную функции \(y = x\sqrt{x}\) по переменной \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx}(x\sqrt{x})\]

Применяя правила дифференцирования, получим:
\[y" = \frac{3}{2}\sqrt{x}\]

Теперь приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:
\[\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0\]
\[\sqrt{x} = 0\]
\(x = 0\)

Если \(x = 0\), то функция не определена на отрезке \([1, 4]\), поэтому отбрасываем эту точку.

Шаг 2: Проверка граничных точек.
Теперь остается проверить значения функции на концах отрезка \([1, 4]\). Вычислим значения функции в точках \(x = 1\) и \(x = 4\):
\[y_1 = 1\sqrt{1} = 1\]
\[y_2 = 4\sqrt{4} = 8\]

Шаг 3: Сравнение найденных значений.
Сравним значения функции в точках \(x = 1\), \(x = 4\) и \(x = 0\). Мы получаем:
\[y_1 = 1\]
\[y_2 = 8\]

Таким образом, значение функции \(y = x\sqrt{x}\) достигает наибольшего значения равного 8 в точке \(x = 4\) на отрезке \([1, 4]\).