Какое значение функции y=x√ достигает наибольшего значения на отрезке [1; 4]? Ответ: значение yнаибольшего

Yabeda

34

Наибольшее значение функции $y=x\sqrt{x}$ на отрезке $[1,4]$ можно найти, используя метод нахождения экстремумов функции.

Шаг 1: Определение критических точек.
Для начала, найдем точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную функции $y=x\sqrt{x}$ по переменной $x$:
$$y"=\frac{d}{dx}(x\sqrt{x})$$

Применяя правила дифференцирования, получим:
$$y"=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

Теперь приравняем $y"$ к нулю и решим уравнение:
$$\frac{3}{2}\sqrt{x}=0$$
$$\sqrt{x}=0$$
$x=0$

Если $x=0$, то функция не определена на отрезке $[1,4]$, поэтому отбрасываем эту точку.

Шаг 2: Проверка граничных точек.
Теперь остается проверить значения функции на концах отрезка $[1,4]$. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$:
$$y_1=1\sqrt{1}=1$$
$$y_2=4\sqrt{4}=8$$

Шаг 3: Сравнение найденных значений.
Сравним значения функции в точках $x=1$, $x=4$ и $x=0$. Мы получаем:
$$y_1=1$$
$$y_2=8$$

Таким образом, значение функции $y=x\sqrt{x}$ достигает наибольшего значения равного 8 в точке $x=4$ на отрезке $[1,4]$.